Случайные погрешности

При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпири­ческие проявления — результаты измерений.

Истинные значения физических величин — это значения, иде­альным образом отражающие свойства данного объекта как в ко­личественном, так и в качественном отношении. Они не зависят от средств нашего познания и являются абсолютной истиной.

Результаты измерений, напротив, являются продуктами на­шего познания. Представляя собой приближенные оценки значе­ний величин, найденные путем измерения, они зависят не толь­ко от них, но еще и от метода измерения, от технических средств, с помощью которых проводятся измерения, и от свойств органов чувств наблюдателя, осуществляющего измерения.

Под действительным значением физической величины мы бу­дем понимать ее значение, найденное экспериментально и на­столько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него.

Причинами возникновения погрешностей являются: несо­вершенство методов измерений, технических средств, применяе­мых при измерениях, и органов чувств наблюдателя. В отдель­ную группу следует объединить причины, связанные с влиянием условий проведения измерений. Последние проявляются двояко. С одной стороны, все физические величины, играющие ка­кую-либо роль при проведении измерений, в той или иной сте­пени зависят друг от друга. Поэтому с изменением внешних ус­ловий изменяются истинные значения измеряемых величин. С другой стороны, условия проведения измерений влияют и на характеристики средств измерений и физиологические свойства органов чувств наблюдателя и через их посредство становятся источником погрешностей измерения.

Описанные причины возникновения погрешностей опреде­ляются совокупностью большого числа факторов, под влиянием которых складывается суммарная погрешность измерения — см. формулу (1.1). Их можно объединить в две основные группы.

1. Факторы, проявляющиеся весьма нерегулярно и столь же неожиданно исчезающие или проявляющиеся с интенсивно­стью, которую трудно предвидеть. К ним относятся, например, перекосы элементов приборов в их направляющих, нерегуляр­ные изменения моментов трения в опорах, малые флуктуации влияющих величин, изменения внимания операторов и др.

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измере­ния, определяемая действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения. Ее основная особенность в том, что она случайно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

При создании измерительной аппаратуры и организации процесса измерения в целом интенсивность проявления боль­шинства факторов данной группы удается свести к общему уров­ню, так что все они влияют более или менее одинаково на фор­мирование случайной погрешности. Однако некоторые из них, например внезапное падение напряжения в сети электропита­ния, могут проявиться неожиданно сильно, в результате этого погрешность примет размеры, явно выходящие за границы, обу­словленные ходом эксперимента в целом. Такие погрешности в составе случайной погрешности называются грубыми. К ним тес­но примыкают промахи — погрешности, зависящие от наблюда­теля и связанные с неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом показаний или ошибками при записи результатов.

2. Факторы, постоянные или закономерно изменяющиеся в процессе измерительного эксперимента, например плавные из­менения влияющих величин или погрешности применяемых при измерениях образцовых мер. Составляющие суммарной погреш­ности, определяемые действием факторов этой группы, называ­ются систематическими погрешностями измерения. Их отличи­тельная особенность в том, что они остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. До тех пор пока систематические погрешности больше случайных, их зачастую можно вычислить или исключить из результатов измерений надлежащей постановкой опыта.

Таким образом, мы имеем два типа погрешностей измерения:

ü случайные (в том числе грубые погрешности и промахи), изменяющиеся случайным образом при повторных измере­ниях одной и той же величины;

ü систематические погрешности, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измере­ниях.

В процессе измерения оба вида погрешностей проявляются одновременно, и погрешность измерения можно представить в виде суммы

где ε — случайная, а Θ — систематическая погрешности.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величин, проводят многократные наблюде­ния за измеряемой величиной с последующей математической обработкой опытных данных. Поэтому наибольшее значение имеет изучение погрешности как функции номера наблюдения, т. е. времени Δt. Тогда отдельные значения погрешностей можно будет трактовать как набор значений этой функции:

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций матема­тического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятности появления ее значений в том или ином интервале. В серии экс­периментов, состоящих из ряда многократных наблюдений, мы получаем одну реализацию этой функции. При повторении се­рии при тех же значениях величин, характеризующих факторы второй группы, неизбежно получаем новую реализацию, отли­чающуюся от первой.

Реализации отличаются друг от друга из-за влияния факто­ров первой группы, а факторы второй группы, одинаково прояв­ляющиеся при получении каждой реализации, придают им неко­торые общие черты.

Погрешность измерений, соответствующая каждому моменту времени, называется сечением случайной функции Δt. В каждом се­чении в большинстве случаев можно найти среднее значение по­грешности Θ _i, относительно которого группируются погрешности в различных реализациях. Если через полученные таким образом точки Θ _i провести плавную кривую, то она будет характеризовать общую тенденцию изменения погрешности во времени.

Предположим, что Θ(t _i) = 0, т. е. систематические погрешно­сти тем или иным способом исключены из результатов наблюде­ний, и будем рассматривать только случайные погрешности, средние значения которых равны нулю в каждом сечении. Пред­положим далее, что случайные погрешности в различных сечени­ях не зависят друг от друга, т. е. знание случайной погрешности в одном сечении как ординаты одной реализации не дает нам ни­какой дополнительной информации о значении, принимаемом этой реализацией в любом другом сечении. Тогда случайную по­грешность можно рассматривать как случайную величину, а ее значения при каждом из многократных наблюдений одной и той же физической величины — как ее эмпирические проявления, т. е. как результаты независимых наблюдений над ней.

В этих условиях случайная погрешность измерений δ опреде­ляется как разность между исправленным результатом X измере­ния и истинным значением Q измеряемой величины:

причем исправленным будем называть результат измерений, из которого исключены систематические погрешности.

При проведении измерений целью является оценка истинно­го значения измеряемой величины, которое до опыта неизвест­но. Результат измерения включает в себя помимо истинного зна­чения еще и случайную погрешность, следовательно, сам являет­ся случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не харак­теризует точности измерений, поэтому не ясно, какое же значе­ние принять за окончательный результат измерения и как оха­рактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при мет­рологической обработке результатов измерения методы матема­тической статистики, имеющей дело именно со случайными ве­личинами.