Глава 2. 2.1. Макроскопічне та мікроскопічне електричне поле

ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ

2.1. Макроскопічне та мікроскопічне електричне поле

Характерною особливістю речовини є дискретність її структури. Розміри ядер складають

~ 10−13см, в електрона, на відміну від нуклонів, взагалі відсутній твердий керн (ядро), тоді як

розміри атомів, тобто діаметри зовнішніх електронних оболонок набагато більші

a ~ 10− 8 см. В

конденсованому середовищі відстань між атомами чи молекулами має однаковий порядок величини з розмірами атомів. Електричні заряди речовини виявляються розділеними значними відстанями, порівняно з їхніми розмірами, тому поле, утворене ними, надзвичайно неоднорідне. Воно змінюється

на багато порядків у межах малої відстані ~ a. Результуюче поле, утворене зарядами речовини, плюс

поле зарядів, зовнішніх відносно зразка речовини, називається мікроскопічним полем

E мікро. Поле

зовнішних зарядів – сторонніх зарядів позначимо символом

E 0. Внаслідок віддаленості сторонніх

зарядів поле їх у зразку речовини змінюється плавно. Отже, мікроскопічне поле можна записати у вигляді суперпозиції

E мікро = ∑ Ei + E 0, (2.1.1)

де Ei – поле і -го точкового заряду речовини.

В електростатиці існує єдиний спосіб вимірювання електричного поля – необхідно вмістити в

задану точку поля пробний заряд та виміряти силу, що діє на нього. Проблема полягає в тім, що таким способом отримати точні результати неможливо, оскільки прилад для вимірювання сили має макроскопічні розміри, тоді як об'єкт вимірювання є мікроскопічним. Крім того, навіть найменший із можливих пробних зарядів – елементарний заряд має величину, порівняну з величиною сусідніх зарядів речовини, і тому викликає їх суттєве зміщення. Внаслідок цього поле, виміряне в деякій точці не відповідатиме значенню, яке було там до внесення пробного заряду. Реальна величина пробного заряду часто суттєво перевищує величину елементарного заряду, а розміри носія цього заряду – зонда значно перевищують характерний атомний параметр а. Таким чином, існує істотний вплив приладу на результат вимірювання, який неможливо звести нанівець.

Проблема вимірювання параметрів мікрооб'єктів детально розглядається у квантовій теорії. Наша задача полягає у визначенні такої силової характеристики поля в речовині, яку можна поміряти. З аналізу, наведеного вище, випливає, що, помірявши силу, яка діє на пробний заряд макроскопічного розміру, ми знаходимо напруженість поля, усереднену в об'ємі, рівному об'ємові зонда. Тобто

E мікро

E = ∫

Δ V

dV. (2.1.2)

Тут Δ V

– елементарний макроскопічний об’єм, величина якого вибирається з наступних міркувань:

а) в цей об’єм повинно входити досить багато зарядів, аби можна було коректно проводити

усереднення;

б) верхню межу для Δ V

необхідно вибирати з таким розрахунком, аби лінійні розміри цього

об’єму були значно менші від розміру макроскопічної неоднорідності L речовини, властивості якої досліджуються. Дотримання цього критерію дозволяє отримати достатню кількість експериментальних точок у межах неоднорідності.

Таким чином, критерій елементарності об'єму визначається нерівностями

a 3 << Δ V << L 3. (2.1.3)

Означене в (2.1.2) поле називається макроскопічним. З означення зрозуміло, що в наближенні

макроскопічного поля губиться інформація, пов’язана із дискретністю структури речовини. Зате ми отримуємо можливість оперувати усередненими значеннями параметрів речовини. В макроскопічному наближенні речовину можна розглядати як суміш позитивно та негативно заряджених електричних рідин, неперервно розподілених в об'ємі так, що заряди цих рідин повністю чи частково взаємно компенсуються.

Сформулювавши поняття макроскопічного поля, можна коректно ввести поняття густини розподілу електричного заряду. Якщо макроскопічний заряд знаходиться в деякому об’ємі, то його розподіл можна описати об'ємною густиною заряду

ρ = Δ q Δ V, (2.1.4)

де Δ q – заряд в елементарному об’ємі

Δ V. Якщо

q 1 – заряд одного носія (електрон, іон), то

Δ q = q 1Δ N, де Δ N

– число носіїв заряду в Δ V. Оскільки концентрація n = Δ N

Δ V, то

ρ = q 1 n. (2.1.5)

Якщо носіями заряду є електрони, то ρ = − en. У випадку розміщення заряду тонким шаром на деякій

поверхні його розподіл описується поверхневою густиною заряду

σ = Δ q Δ S.

Нарешті, розподіл зарядів уздовж деякої лінії описується лінійною густиною заряду

τ = Δ q Δ l.

(2.1.6)

(2.1.7)

Для знаходження макроскопічного поля протяжних зарядів, ураховуючи принцип суперпозиції,

розбиваємо їх на точкові елементи dq = τ dl, dq = σ dS

і dq = ρ dV

й отримуємо

⎡

E = k ⎢∫

r σ dS + ∫

r ρ dV +∫

⋅ r τ dl + ∑

qi ri ⎤

3 ⎥. (2.1.8)

⎣ r r r

ri ⎦

2.2. Електричне поле у провідниках

Провідники

До провідників належать тверді, рідкі чи газоподібні речовини, в яких існують у значній кількості вільні носії заряду. Вільними вважаються заряди, які можуть переміщуватися на відстані, що

значно перевищують атомний масштаб

a ~ 10−8см, характерний для конденсованої фази.

Концентрація вільних зарядів у провідниках має однаковий порядок величини з концентрацією атомів, тобто n ~ 1022 см -3. Ця особливість відрізняє провідники від діелектриків і напівпровідників, у яких теж існують вільні заряди, однак концентрація їх значно менша.

Типовими провідниками є метали. Вільними носіями заряду в металах є електрони, звичайно,

не всі, а лиш ті, які в ізольованому атомі мають найменшу енергію зв’язку – валентні електрони. До провідників відносяться також електроліти, тобто розплави солей або водні розчини солей, кислот, лугів. Вільними носіями заряду в електролітах є іони обох знаків і частково електрони. Газоподібним провідником є плазма – газ, збуджений до стану іонізації.

Електростатичні властивості провідників у постійному полі зумовлені виключно наявністю в них вільних носіїв заряду у значної концентрації, тому достатньо буде обмежитися аналізом їхніх властивостей на прикладі лише металевого провідника. Аналіз провадиться в наближенні макроскопічного поля. Крім того, розглядаються лиш однорідні провідники. Електричні властивості неоднорідних середовищ вивчаються у главі 10.

Напруженість та потенціал поля провідника

1. В рівноважному стані макроскопічне електричне поле в однорідному провіднику відсутнє. В

полі E на електрон провідника діє сила

F = − e E. Вільні електрони під дією цієї сили

переміщуватимуться проти поля, внаслідок чого та частина поверхні провідника, в яку входять силові лінії поля, заряджається негативно, тоді як на протилежній поверхні відкладеться позитивний заряд, рис. 2.2.1. Наслідком такого розділення зарядів – явища електростатичної індукції є виникнення

макроскопічного поля

E', протилежного зовнішньому полю, тому загальне поле буде монотонно

зменшуватися в часі. В рівноважному стані на електрони електрична сила не діє, тобто

E = E 0 + E' = 0.

Внаслідок малої маси електрона процес урівноважування займає дуже малий

проміжок часу (τ ~ 10−15 c).

Рис. 2.2.1. Електростатична індукція у провіднику.

Повна компенсація зовнішнього поля у провіднику спричиняється не лише самим фактом існування вільних зарядів, але і значною концентрацією їх. Розрахунок показує, що для компенсації постійного зовнішнього поля, яке можна створити в лабораторних умовах, достатньо лише невеликої частини електронів, причому з однієї атомної площини кристала. В реальних діелектриках теж

існують заряди, які можна вважати вільними, проте концентрація їх виявляється надто малою,

порівняно з металами, тому повної компенсації зовнішнього поля в них не спостерігається.

2. В об’ємі однорідного провідника макроскопічні заряди відсутні. Ця властивість випливає з

рівняння Остроградського-Гауса ∇ E = 4π k ρ; оскільки всередині провідника

E = 0, то й ρ = 0. Таким

чином, заряди, індуковані зовнішнім полем чи спеціально нанесені на однорідний провідник,

розташовуються виключно на його поверхні (тобто на неоднорідності).

3. За умови рівноваги зарядів усі точки однорідного провідника мають однаковий потенціал.

Цей висновок випливає з умови

E = 0, що дає

ϕ = −∫ Edl = const. У свою чергу, із факту

еквіпотенціальності поверхні провідника випливає, що лінії напруженості поблизу поверхні провідника перпендикулярні до неї.

Рис. 2.2.2. До визначення поля біля поверхні провідника.

4. Напруженість поля поблизу поверхні провідника. Для знаходження поля використаємо теорему Остроградського-Гауса, побудувавши для цього замкнену поверхню у вигляді циліндра малої висоти h та площею основи dS, рис. 2.2.2. Всередині провідника поле відсутнє, тому

Φ = EdS cos α + Φ б, де перший член у правій частині визначає потік крізь верхню основу, а

Φ б –

потік крізь бічну поверхню. Оскільки точка повина розміщуватися поблизу поверхні провідника, то

h → 0, тобто й

Φ б → 0. Крім того, врахуємо, що

α = 0

внаслідок еквіпотенціальності поверхні

провідника. Отримуємо

EdS = 4π k σ dS, де dq = σ dS

– заряд на поверхні провідника, що вирізається

циліндричною поверхнею. Врахувавши напрямок E, отримуємо

E = 4π k σ n. (2.2.1)

Властивості провідника з порожниною

Подумки просвердлимо вглиб провідника отвір малого діаметра та виймемо із середини деяку кількість речовини. Отримаємо провідник із практично замкненою порожниною, рис. 2.2.3. Оскільки видалена речовина не має макроскопічного заряду, то рівновага зарядів на поверхні провідника після вказаної операції не порушиться. Отже, рівновеликі та однаково заряджені провідники, один із яких суцільний, а інший порожнистий, утворюють зовні ідентичне електричне поле. В тім числі, поле в порожнині відсутнє, як і в суцільному провіднику.

Внесемо крізь отвір заряд q у порожнину, не дотикаючись до провідника. На поверхні

порожнини індукується деякий заряд q'

протилежного знаку, а на зовнішній поверхні провідника

виникне заряд

q'' = − q'. Якщо провідник попередньо був зарядженим, то заряд

q''

долучиться до

існуючого там заряду. Для знаходження q'

використаємо теорему Остроградського-Гауса, провівши

поверхню для інтегрування так, аби вона скрізь проходила у товщі провідника. Маємо

∫ EdS = 4π k (q + q')=0,

оскільки

E = 0

у всіх точках поверхні для інтегрування. Таким чином, q' = − q, а тому q'' = q.

Рис. 2.2.3. Порожнина у провіднику.

Виявляється, що заряд q'

розподіляється на поверхні порожнини так, аби поле його

нейтралізувало поле, створене зарядом q причому в кожній точці провідника і незалежно від

наявності заряду на зовнішній поверхні. У свою чергу заряд q'', незалежно від розміщення зарядів q

та q', розподілиться на поверхні провідника так, що його власне поле у провіднику відсутнє. Таким

чином, заряд

q, нанесений на поверхню провідника, як і цей же заряд, розміщений де-небудь

всередині порожнини незарядженого провідника, утворюють за його межами ідентичні електричні

поля. Переміщення заряду q всередині порожнини не впливає на розміщення заряду впливає і на зовнішнє поле, а лише змінює розподіл заряду q' на поверхні порожнини.

q'', тобто не

Заряджання провідника з порожниною

Властивість порожнистого провідника, розглянута вище, використовується для його заряджання до значного потенціалу. Спочатку будемо заряджати металеву сферу, дотикаючись зарядженою металевою кулькою до її зовнішньої поверхні. На сферу переходить лише частина заряду, необхідна для врівноважування потенціалу обох провідників. Якщо процес повторювати, заряджаючи кожний раз кульку до одного й того ж потенціалу, то потенціал сфери (відповідно й заряд) зростатиме доти, поки не зрівняється з потенціалом свіжозарядженої кульки, по чому процес заряджання припиняється.

Розглянемо тепер інший спосіб, коли сферу заряджати, дотикаючись кулькою до її внутрішньої

поверхні. Поле заряду q, внесеного у порожнину, наводить на її внутрішній поверхні заряд q' = − q, а.

до заряду, розміщеного на зовнішній поверхні, долучається заряд

q'' = q. Якщо кульку дотикнути до

поверхні порожнини, то її заряд повністю переміститься на провідник, нейтралізувавши заряд

q'.

Повторюючи описані дії, ми кожний раз незалежно від величини заряду q ' ' переносимо на сферу весь заряд кульки. Таким способом можна зарядити провідник до високого потенціалу, в усякому разі значно вищого від потенціалу свіжозарядженої кульки. Величина кінцевого заряду тут обмежується іншими, порівняно з попереднім випадком причинами, серед яких основними є електричний пробій у повітрі та урівноважування швидкості витікання заряду зі сфери у повітря із швидкістю її заряджання.

Описаний спосіб використовується для заряджання лейденської банки в електрофорній машині.

На цьому принципі також ґрунтується робота електростатичного генератора Ван де-Граафа, який раніше використовувався як джерело високої напруги у прискорювачах елементарних частинок, поки його не замінили більш досконалими методами.