Билет#20

1. Методы стандартизации. Комплексная стандартизация. Классификация категорий и видов стандартов. Виды стандартов. (Б8.2)

2. Проверка адекватности регрессионной модели.

Все выводы в регрессионном анализе строятся на основании имеющихся исходных статистических данных. Итак, будем полагать, что мы располагаем результатами регистрации значений анализируемых объясняющих (x(1), x(2),..., x(n)) и результирующей (y) переменных на p статистически обследованных объектах (в нашем случае пациенты). Так что, если j - номер обследованного объекта, то имеющиеся исходные статистические данные состоят из p строк вида:

(xj(1), xj(2),..., xj(n); yj), j = (1, p), (1)

где xj(i) и yj - значения соответственно i-й (i = (1, n)) объясняющей переменной и результирующего показателя, зарегистрированные на j-м обследованном объекте.Данные в регрессионном анализе обычно представляются в виде двух матриц вида:

где Х - матрица размера p*(n+1), составленная из значений объясняющих переменных и Y - матрица размера p*1, составленная из значений результирующей переменной.

Определение числовых значений параметров уравнения множественной регрессии обычно производится методом наименьших квадратов, для чего строится и решается система нормальных уравнений.

Коэффициенты при независимых переменных xi в уравнении множественной линейной регрессии показывают, на сколько в среднем изменяется результативный признак при увеличении соответствующего фактора на единицу и при фиксированном (постоянном) значении других факторов, входящих в уравнение регрессии.

Величина совокупного коэффициента корреляции по значениям парных коэффициентов может быть определена следующим образом: (3)

Величина R2, называемая коэффициентом детерминации и показывает, в какой мере вариация результативного признака обусловлена влиянием признаков-факторов, включенных в рассматриваемое уравнение корреляционной зависимости.

Величина совокупного коэффициента корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и численно не может быть меньше, чем любой из образующих его парных коэффициентов корреляции. Чем ближе совокупный коэффициент корреляции к единице, тем меньше роль неучтенных в модели факторов и тем больше оснований считать, что параметры регрессионной модели отражают степень эффективности включенных в нее факторов.

Иногда рассеяние точек корреляционного поля настолько велико, что нет смысла пользоваться линейным уравнением регрессии, так как погрешность в оценке анализируемого показателя будет чрезвычайно велика. В таком случае необходимо воспользоваться квадратичными моделями множественной регрессии.

Для всей совокупности наблюдаемых значений рассчитывается средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии Se, которая представляет собой среднее квадратическое отклонение фактических значений yj, относительно значений, рассчитанных по уравнению регрессии yjр (4): (4)

где Se - средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии;

yj - фактические значения результативного признака, полученные по данным наблюдения;

yjр - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению корреляционной связи и полученные подстановкой значений факторного признака xi в уравнение регрессии;

n - число параметров в уравнении регрессии.

А также определяется стандартная ошибка (5): (5)

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг прямой, тем меньше средняя квадратическая ошибка уравнения. Таким образом, величина Se служит показателем значимости и полезности модели, выражающей соотношение между признаками.

Для проверки значимости полученных коэффициентов регрессии необходимо воспользоваться формулами (6) и (7): Расчетное значение t-критерия сравнивается по абсолютной величине с табличным значением при (p-n) степенях свободы и заданном уровне значимости (чаще всего принимают a=0,01 или a=0,05). Если фактическое значение t-критерия больше табличного, то данный параметр считается значимым. Иначе он считается незначимым и исключается из рассмотрения.

Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия часто используется для завершения отбора факторов в процессе шагового анализа. Наиболее известны две процедуры, которые реализованы в прикладных пакетах: последовательное увеличение и последовательное уменьшение группы независимых переменных. Например, последовательное уменьшение заключается в том, что после решения модели и оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключается тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьший коэффициент доверия t. После этого модель решается и снова производится оценка значимости всех коэффициентов регрессии. Если среди них опять окажутся незначимые, то снова исключается фактор с наименьшим коэффициентом t. Процесс исключения факторов продолжается до тех пор, пока не получено уравнение регрессии, все коэффициенты в котором значимы. Пошаговая регрессия применяется для минимизации количества независимых переменных, входящих в исследуемую модель.

Проверка адекватности модели - одна из важнейших процедур регрессионного анализа, поскольку исследователь должен удостовериться в том, что практическое использование полученной модели приведет к положительным результатам. На основе уравнения регрессии и отклонений реального и рассчитанного значения отклика можно вычислить средний квадрат этих отклонений, т. е. средний квадрат отклонений фактических значений результативного признака от теоретических его значений, полученных путем подстановки в уравнение регрессии соответствующих значений признака-фактора (8): Проверка значимости (существенности) показателей регрессии и корреляции производится с помощью дисперсионного F-критерия Фишера (9) где n - число параметров в уравнении регрессии. Расчетное значение F сравнивается с критическим для принятого уровня значимости a и k1 = n - 1, k2 = p - n степенях свободы. Если фактическое значение критерия Фишера больше табличного, то построенная регрессионная модель считается адекватной.