Приклад 5

Скільки часу скочуватиметься обруч (без ковзання) з похилої площини довжини м і висоти см?

Розв’язання:

Оскільки обруч котиться без ковзання (тобто немає сили тертя ковзання), його повна механічна енергія зберігається. У верхній точці похилої площини повна енергія дорівнює потенціальній енергії

. (5.1)

У нижній точці похилої площини повна енергія дорівнює кінетичній

енергії. Кінетична енергія вільного твердого тіла:

, (5.2)

де – момент інерції тіла відносно миттєвої осі, що проходить через його центр мас, – швидкість поступального руху центра мас тіла, – маса тіла, – кутова швидкість. Момент інерції обруча відносно миттєвої осі, яка проходить через його центр мас

, (5.3)

де – радіус обруча. Оскільки ковзання відсутнє, швидкість центра мас дорівнює лінійній швидкості обертального руху і зв’язана з кутовою швидкістю наступним чином:

. (5.4)

Після підстановки (5.3) та (5.4) у (5.2) дістанемо:

. (5.5)

З урахуванням (5.1) та (5.5) закон збереження енергії набуває вигляду:

, а . (5.6)

Оскільки рух обруча під дією сталих сил є рівноприскореним, то

. (5.7)

З формули (5.7) здобудемо час t і, підставивши швидкість з (5.6), дістанемо:

. (5.8)

Підставивши у (5.8) числові значення, дістанемо:

с.