Вектори

Описуючи фізичні й технічні процеси, явища, ми зустрічаємося з величинами різної природи. Деякі з них, такі, як маса, температура, об’єм, повністю визначаються одним числом. Вони називаються скалярними величинами. Поряд з цим існують величини, для характеристики яких необхідно вказати ще й напрям, наприклад, сила, швидкість, напруженість електричного поля. Такі величини називають векторними. Геометричною моделлю векторної величини є напрямлений прямолінійний відрізок, або вектор.

Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, в якого обмежуючі його точки беруться у певній послідовності; при цьому перша точка називається початком вектора, друга – його кінцем.

Позначається вектор , А – початок вектора, В – його кінець. Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називають нульовим і позначають . Нульовий вектор не має певного напряму, тобто йому можна приписати який завгодно напрям. Відстань між початком А і кінцем В вектора називають модулем (довжиною) вектора . Позначення: . Очевидно .

За допомогою геометричних векторів (напрямлених відрізків) можна моделювати різноманітні фізичні величини. Векторна система позначень має дві істотні переваги.

1. Формулювання фізичних законів у векторній формі не залежать від вибору осей координат. Векторна система позначень являє собою таку мову, у якій формулювання мають фізичний зміст навіть без введення системи координат.

2. Векторна система позначень є компактною. Багато з фізичних законів виражаються через векторні величини у простій і наочній формі, яка не зберігається при виражанні їх через проекції цих величин у якійсь системі координат.

Вектор можна задати, якщо вказати початок, модуль (довжину) і напрям. Але у багатьох випадках початок, чи, як кажуть фізики, точка прикладання, не має істотного значення, а важливі лише модуль і напрям. Такі вектори називають вільними на відміну від зв’язаних, де точка прикладання є істотною, або ковзних, де початок вектора може пересуватися вздовж прямої, на якій розташовується вектор. Оскільки завдання ковзного або зв’язаного векторів може бути замінене завданням двох вільних векторів, далі розглядатимуться саме вільні вектори. Оскільки для таких векторів початок можна не вказувати, то їх часто позначають однією літерою із стрілкою над нею. Наприклад: . У друку позначення векторів зазвичай набираються жирним шрифтом (а). Модуль вектора друкується курсивом: а – модуль вектора . Замість а пишуть також .

Вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Очевидно, нульовий вектор можна вважати колінеарним будь-якому векторові. Те, що вектор колінеарний векторові позначають так: .

Вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах. Очевидно, два вектори завжди компланарні, три вектори, один з яких нульовий, також компланарні.

Рівність векторів. Два вектори та називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають однакові модулі. З цього означення випливає: якщо довільна точка і – даний вектор, то існує й до того ж єдиний вектор , що дорівнює даному. Інакше кажучи, вектор можна переносити у просторі паралельно самому собі.

Добуток вектора на число. Добутком вектора на дійсне число називають такий вектор , що: 1) ; 2) ; 3) якщо , то вектори та однаково напрямлені, якщо ж , то – протилежно напрямлені. Якщо , то . Те ж саме буде, якщо . Добуток вектора на число позначається . Вектор називається протилежним до і позначається .

Додавання векторів. Сумою двох векторів та називають вектор , який будується таким чином: від довільної точки М відкладаємо вектор , що дорівнює , а потім будуємо вектор , що дорівнює . Приймаємо (рис. 2). Позначення: . Наведене означення суми векторів називають ще правилом трикутника, або правилом паралелограма, оскільки у разі неколінеарності додаваних векторів являє собою діагональ паралелограма, побудованого на векторах, що дорівнюють та , як на сторонах (рис. 1). З означення випливає, що сума двох векторів компланарна із своїми доданками. Правило трикутника легко узагальнюється на випадок трьох та більшої кількості доданків.

Різницею векторів і називають вектор , тобто різниця векторів визначається, як показано на рис. 3. Позначення: .

Суму векторів та добуток вектора на число називають лінійними операціями з векторами. Для них зберігаються властивості комутативності, асоціативності, дистрибутивності.

Нехай вектор . Тоді і . Розглянемо вектор . Цей вектор колінеарний векторові й до того ж однаково напрямлений з ним, . Вектор називають ортом вектора , або одиничним вектором для , і часто позначають . Щоб здобути орт, слід вектор помножити на число, обернене до .

Для будь-яких колінеарних векторів та , якщо , існує й до того ж єдине число , таке, що .

Щоб фізична величина виражалася вектором, вона має задовольняти наступні дві умови:

1. Для неї має виконуватися закон додавання за правилом трикутника (паралелограма).

2. Її модуль і напрям мають бути незалежними від вибору системи координат.

Введемо поняття кута між векторами. Кутом між векторами будемо називати найменший кут, на який слід повернути один з векторів, щоб його напрям збігався з напрямом другого. В означенні не йдеться про те, від якого вектора і в якому напрямі відлічується кут. Звідси випливає, що кут між двома векторами не може бути від’ємним і не може бути більшим за p.

Якщо кут прямий, то вектори називають ортогональними. Позначення: . Нульовий вектор ортогональний будь-якому векторові.

Скалярний добуток векторів. Скалярним добутком двох векторів та називається число, що дорівнює добуткові модулів цих векторів на косинус кута між ними. Операція скалярного добутку двох векторів позначається або точкою між символами співмножників:

, (1)

де – косинус кута між векторами та . Очевидно, що означення скалярного добутку зовсім не зв’язане з системою координат, тобто скалярний добуток векторів являє собою скаляр. Зауважмо, що , і тому скалярний добуток комутативний:

.

Якщо , то і

.

Для того, щоб два вектори були ортогональними, необхідно і достатньо, щоб їхній скалярний добуток дорівнював нулю.

Не існує дії, оберненої скалярному добуткові векторів. Ділення на вектор неможливе, це беззмістовна, невизначена операція.

Потужність (робота, яка виконується за одиницю часу). З елементарного курсу фізики ми знаємо, що робота, яку сила здійснює за одиницю часу над частинкою, що рухається із швидкістю , дорівнює . У цьому виразі ми зараз пізнаємо скалярний добуток: .

Координати векторів. Декартова прямокутна система координат. Впорядковану трійку ненульових некомпланарних векторів називають базисом у просторі. Будь-який вектор простору може бути поданий у вигляді:

,

або, як кажуть, може бути розкладений за базисом й до того ж єдиним чином. Аналогічно, впорядковану пару ненульових неколінеарних векторів називають базисом на площині, і будь-який вектор площини може бути розкладений за базисом і до того ж єдиним чином. Коефіцієнти при базисних векторах у розкладанні вектора за базисом називаються координатами вектора відносно даного базису.

При додаванні векторів їхні координати відносно будь-якого фіксованого базису додаються, а при множені векторів на числа їхні координати помножаються на ці числа.

Впорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, або правоорієнтованою, якщо найкоротший поворот від першого вектора до другого спостерігається з кінця третього вектора таким, що здійснюється проти руху годинникової стрілки. В противному випадку трійка називається лівою.

Базис у просторі, який складається з парами ортогональних векторів, називається ортогональним, а якщо до цього модуль кожного з цих векторів дорівнює одиниці, то ортонормованим. Вектори ортонормованого базису зазвичай позначають .

Зафіксуємо у просторі точку О і розглянемо довільну точку М. Вектор називають радіусом-вектором точки М. Оберемо в просторі деякий базис. Тоді точці М можна поставити у відповідність впорядковану трійку чисел – координати її радіуса вектора у даному базисі.

Декартовою системою координат у просторі називається сукупність точки і базису. Точка О називається початком координат, прямі, що проходять через початок у напрямі базисных векторів, – осями координат. Декартова система координат, базис якої ортонормований, називається декартовою прямокутною системою координат. Перша вісь цієї системи – вісь Ох, або вісь абсцис, вектор – орт цієї осі; друга вісь – вісь Оу, або вісь ординат, її орт , третя вісь – Оz, або вісь аплікат, її орт . Якщо базисна трійка векторів права, то й декартова система координат називається правою, а якщо базисна трійка ліва, то й система координат називається лівою. У фізиці зазвичай користуються правою системою координат. Зауважмо, що , а . Аналогічно визначаються декартові координати на площині. На площині точка має тільки абсцису та ординату.

Нехай l – деяка вісь, тобто пряма з визначеним напрямом та – одиничний вектор, який задає напрям осі, інакше – орт осі. Число називається проекцією вектора на вісь l і позначається Пр _l . Проекції вектора на осі декартової прямокутної системи координат збігаються з координатами вектора у вказаному базисі. Вектор називають складовою вектора вздовж осі l. Вектор , компланарний площині Р і такий, що вектор перпендикулярний цій площині, називається ортогональною складовою вектора на площині Р.

Отже, будь-який вектор можна виразити так:

, (2)

де – проекції (координати) вектора на відповідні координатні осі, а – складові цього вектора вздовж відповідних координатних осей.

Сума векторів та

. (3)

Різниця векторів та

. (4)

Скалярний добуток векторів та

. (5)

Векторний добуток. У фізиці широко використовується і інший вид добутку двох векторів. На відміну від скалярного цей добуток являє собою вектор і називається векторним добутком.

Векторним добутком вектора на вектор називається такий вектор , що (дивись рис. 4):

1) й , інакше кажучи, векторний добуток перпендикулярний площині векторів-співмножників;

2) , інакше кажучи, модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-співмножниках, як на сторонах;

3) вектори складають праву трійку.