Точечные оценки. Метод моментов

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - статистическая оценка, значения к-рой суть точки во множестве значений оцениваемой величины.
Пусть по реализации случайного вектора принимающего значения в выборочном пространстве надлежит оценить неизвестный параметр (или нек-рую функцию Тогда любая статистика Т _n=Т _п (Х), осуществляющая отображение множества в (или в множество значений функции наз. точечной оценкой параметра (оцениваемой функции Важными характеристиками Т. о. Т _п являются ее математич. ожидание

и дисперсионная матрица (ковариационная матрица)

Вектор наз. вектором ошибок Т. о. Т _п. Если

- нулевой вектор при всех то говорят, что Т _п является несмещенной оценкой функции или что Т _п лишена систематич. ошибки, в противном случае Т. о. Т _п наз. смещенной, а вектор - смещением или систематической ошибкой Т. <о. Качество Т. о. определяется с помощью функции риска.

Метод моментов

Вместе с тем, на основе наблюдений могут быть найдены выборочные начальные моменты -го порядка

,

которые служат состоятельными оценками моментов распределения .

Метод моментов заключается в приравнивании выборочных моментов к соответствующим моментам распределения и нахождении оценок неизвестных параметров из системы уравнений:

.

Кроме начальных моментов, для оценок параметров могут использоваться центральные моменты распределения и выборочные центральные моменты:

.

Для некоторых распределений, например, нормального или экспоненциального, оценки параметров, найденные с помощью метода моментов, совпадают с соответствующими ОМП. Вместе с тем имеются многочисленные задачи, в которых метод моментов приводит к худшим по точности оценкам, чем метод максимального правдоподобия. Характерным примером является оценка параметра равномерного распределения . Для нахождения этой оценки на основе метода моментов приравняем математическое ожидание (первый начальный момент) и выборочное среднее . В результате получаем несмещенную оценку с дисперсией . Заметим, что найденное значение в раз больше дисперсии (2.27) оценки максимального правдоподобия. Приведенный результат подчеркивает целесообразность поиска эффективных оценок с помощью метода максимального правдоподобия. Однако встречаются примеры, где решение уравнений правдоподобия найти не удается, но можно получить хорошие оценки по методу моментов. Рассмотрим два таких примера.

Пусть требуется оценить параметры и гамма-распределения (табл. 1.1). Приравнивая моменты распределения и к первому и второму выборочным моментам, получаем следующие оценки параметров по методу моментов:

.

Проанализируем теперь возможности решения более сложной задачи оценки двух параметров и распределения Вейбулла (табл. 1.1). Как следует из табл.1.1, после приравнивания моментов распределения и к выборочным и получается система двух уравнений относительно неизвестных оценок параметров и , аналитическое решение которой не представляется возможным.

Попытаемся подобрать функциональное преобразование выборочных значений , приводящее к упрощению поставленной задачи оценивания. Заметим, что двухпараметрический класс вейбулловскихСВ Y может быть получен с помощью нелинейного преобразования СВ с экспоненциальным законом распределения: . Такое преобразование упрощается, если рассматривать прологарифмированные данные эксперимента, т.е. ввести СВ и соответствующие наблюдения . Но самое главное, что моменты распределения оказываются довольно простыми функциями неизвестных параметров и . Действительно,

;

.

Используя таблицы интегралов [25], запишем:

,

,

где – постоянная Эйлера [25]. С учетом приведенных табличных интегралов получаем следующие выражения для моментов распределения логарифмов наблюдений: .

Оценки теперь могут быть легко найдены из системы двух уравнений , где и – выборочные моменты. После элементарных преобразований решение системы уравнений для оценок параметров распределения Вейбулла запишется в виде:

.

Полученные оценки могут использоваться, например, при построении классификатора типа помех в радиолокационном приемнике, поскольку распределение Вейбулла описывает широкий класс возможных помех в виде собственного шума приемника, отражений от местных предметов, гидрометеоров и др.