	Главная \| Случайная страница \| Контакты \| Мы поможем в написании вашей работы!

Дифференциальные уравнения электромагнитных колебаний

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 101112 Следующая ⇒

В любой момент времени в колеб LC контуре:

U_i=U_c

-LdI/dt=q/c, т.к dq/dt=I

Ld²q/dt²+q/c=0; q’’+q/CL=0; 1/CL=ω²_c; q”+ ω²_cq=0; q=q_Acos(ω_ct+φ₀)

T=2pi/ ω₀=2pi√LC (формула Томпсона)

В связи с тем, что гармонические колебания контура вызывают колебания напряжения и силы тока:

U=q/c= q_Acos(ω_ct+φ₀)/c

U_A=q_A/c; I=dq/dt=-ω_c q_Asin(ω_ct+φ₀)/c;

I_A=ω_c q_A; I= -I_Asin(ω_ct+φ₀)=I_Acos(ω_ct+φ₀₊pi/2)

При анализе видно, что напряжение на контуре по фазе опаздывает за значением силы тока на pi/2

Энергия гармонических колебаний (колебания LС контура и колебания туза на пружине)

1)Р-м колебательный контур. Энергия колебания LC контура зависит от энергии магнитного поля катушки и от энергии поля конденсатора, а энергия зависит от напряжения.

Lq”+ q/c=0 |*q’ Lq”q’+ qq’/c=0

(1/dt)*(L(1/2)q’²+q²/2c)=0

dq²/dt²*dq/dt=0,5dq/dt*dq/dt 0,5Lq’²+q²/2c=const

2)Когда у нас происходят колебания на пружине, необходимо рассмотреть энергию.

mx”+kx=0 |*x’ (mx’²/2)+(kx²/2)=const

L=μμ₀n²V μ=μ(H) C=εε₀S/d

Если в данной области находится сегметоэлектрик

ε=ε(E) I=2U+βU²

I≈(U₁+U₂)²≈(cos²ω₁t,cos² ω₂t, ω₁ ω₂t; cos ω₂t)

cos²ω₁tó 0,5(1+ cosω₁t)=αU+βU²

I≈f(ω₁, ω₂,2 ω₁, 2ω₂,(ω₁+ ω₂),(ω₂- ω₁))

Анализ последнего выражения говорит о том, что наличие нелинейного элемента в цепи вызывает кроме постоянного тока, который зависит от частот, умнож на l, появляются колебания с удвоенными частотами подаваемого сигнала и суммарными, и разностными частотами под сигналами.

19. Т-ма о циркуляции вектора напр-сти магнитного поля.

Закон полного тока для магн. поля в вещ-ве явл-ся обобщением закона циркуляции вект. магн. индукции магн. поля в вакууме. Из уравнения: ∫ _{(кругов.)}Вdl=μ_o∑ⁿ _i₌₁I_i можно сделать вывод: ∫ _{(кругов.)}Вdl= ∫ _{(кругов.)}В_idl= μ_o(I+I′), где I и I′- алгебр-ие суммы токов проводим., т.е. макро и микро токов, охват. произвольно замкнутым контуром. Намагниченность по произвольному замкнут-му конт.: Idl= I′, (B/ μ_o-I)dl=I, ∫ _{(кругов.)}Hdl=I – теорема о цирк. вектора напряженности.

Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса

1) Поток вектора магнитной индукции - через площадку

S = интегр по этой пов-ти от вектора магн индукции по dS вект: Ф_в=∫_sBdS=∫_sB_ndS, B_n=B-cons, Ф_в=BS.

2) Поток вектора М инд. ч/з любую замкн. поверхность (теорема Гаусса для М.П.): ∫_{(кругов.)}_sBdS= ∫_{(кругов.)}_s B_ndS=0. Рассмотрим пример расчета для соленоида у кот. магн. прониц. М. Тога вектор М инд., согласно ур-ию: В=μ_оNI/L зависит от св-в сердечника: В=μμ_оNI/L, Ф₁=BS, ψ=NФ₁= μμ_оN²IS/L.

25. Вывод 1 и 2 ур-ий Максвелла в интегр-ой и дифф-ой формах.

Первое положение Максвелла: при всяком изменении магн. поля возникает вихревое электромагн. поле, силовые линии которого охватывают область изменения магн. поля. ∫ _{(кругов.)}E_Bdl=∫ _{(кругов.)}E_BLdl= - dФ/dt, Ф=∫_BBdS, ∫ _{(кругов.)}_LE_Bdl= - d/dt∫BdS -это ур-ие явл-ся 1-ым ур-ем Максвелла в интегральной форме. ∫ _{(кругов.)}_LE_BLdl=∫_S rot_nE_BdS. Ротором явл-ся циркуляция вектора Е по контуру S. rote₍_S_→0)=1/S*. ∫ _{(кругов.)}E_Ldl, ∫_S (rot_nE_B+d/dt*B)dS=0 – это ур-ие справедливо для любой площадки S. rot_nE_B+dB/dt=0, rotE_B= -dB/dt – 1-ое ур-ие Максвелла в диф-ой форме. Электронное поле, вызванное переменным магн. полем явл-ся вихревым, т.е. не потенциален. Первое ур-ие Максвелла - диф. ур-ие, кот. связывает поле в данной точке простр-ва в данный момент t. Второе ур-ие Максвелла: По Максвеллу всякое изменение эл. поля должно вызвать появление вихр. магн. поля. Максвелл ввел понятие ток смещения. Рассмотрим цепь переменного тока, кот. сод-ит конденсатор. На основании цирк-ии вект. магн. инд:

∫ _{(кругов.)}_LВ_Ldl=μ_o∑ⁿ _i₌₁I_n, j_n=dI/dS_n=1/ S_n*dq/dt.

Когда ток однородный можно перейти от диф-ой формы к интегр-ой с учетом того, что появл-ся плотность σ=q/S. j_n=dσ _n/dt= σ _n. ∑ⁿ _i₌₁I_n =∫_S j_ndS=∫_S σ _ndS. ∫ _{(кругов.)}_LВ_Ldl= μ_o∫_S jdS. При рассмотр. 2 пов-ти мы ув., что ч/з эту пов-ть ток не проходит, но магн. поле сущ-ет, сл-но цирк. В будет отлична от 0. j_n=σ _n, σ _n=D_n, j_n= D_n, D=ε_oE_n, j_n= ε_oE_n, j_n_{смещен.}=∂ D_n/∂t. ∫ _{(кругов.)}_LВ_Ldl=μ_o(∑ⁿ _i₌₁I_i +∂ /∂t*∫_S DdS)- 2-ое ур-ие Максвелла в инт. форме. ∫ _{(кругов.)}_LВ_Ldl=∫_S rotBdS. В левую часть 2-ого ур-ия Максвелла подставим ур-ие в виде rot: ∫_S rotBdS= μ_o(∫_SjdS+∫_SdD_n/dt)dS. Данное ур-ие справедливо для всех пов-ей: rotB= μ_o(j+∂D_n/dt)- 2-ое ур-ие Максвелла в диф. форме. 2-ое ур. Макс. в диф. форме гласит, что магн. поле пораждается как движ., так и перемен. элю полем. На основе этих 2-х ур. Макс. предсказал сущ. магн. волн, распростр. в простр-ве со скоростью света.

Линейные уравнения Максвелла для электромагнитного поля.

Интегральная форма: Eldl= -∂/∂t*∫_sB_n*dS, B_Ldl= μ_o(I+∂/∂t*∫D_n*dS), D_n*dS=∑ⁿ _i₌₁q_i, _sB_n*dS=0. Дифференциальная форма: rotE=∂B/∂t, rotB= μ_o(j+∂D/∂t), divD=ρ, divB=0. Выведем ур-ие (3) из т. Гаусса для электростат. D_n*dS=∫_v divDdV. Если исслед-ый объем охват-ся объемом V, то divD= -( D_n*dS)/V. С др. стороны заряд охват. объемом: q=∫ρDdV, тогда ∫_v divDdV=∫_v ρdV, divD→ρ, D=εε_oЕ, B=μ_oμH, j=σE. Сист. ур-ий Максвелла позволяют рассчитать электромагн. поля по известным зарядам и токам и известным хар-ам среды, т.е. диэл. прониц., ε, μ, σ.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 101112 Следующая ⇒

Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 529 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!

studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...