Рассмотрим решение некоторых задач к этой теме с примене­нием формул средней и предельной ошибки выборки

Задача 3.1

Методом собственно случайной выборки обследована жирность молока у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3,64%, а дисперсия составила 2,56.

Определить: а) среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней.

Решение.

А. Формула средней ошибки выборки:

По условию п = 100, s² = 2,56. Отсюда

Б. Формула предельной ошибки выборки: D = t \i.

По таблице значений F(t) при Р = 0,954

находим, что t = 2. Отсюда D = 2-0,16 = 0,32, или = 3,64 ± 0,32, т.е. предельные значения жирности молока (или дове­рительный интервал генеральной средней) определяются как 3,32% < < 3,96%.

Задача 3.2

На основе выборочного обследования 600 рабочих (п — 600) одной из отраслей промышленности установлено, что удельный вес численности женщин составил 0,4 (w = 0,4).

С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена ошибка (D), не превышающая 5% (0,05)?

Решение.

Чтобы определить вероятность допуска той или иной ошибки, из формулы D=tm, находим показатель /, связанный с вероятностью:

По таблице значений F(t) для t = 2,5 нахо­дим, что Р = 0,988, т.е. с вероятностью 0,988 можно утверждать, что при определении доли женщин (0,4) в общем числе рабочих допуще­на ошибка не более 0,05 (5%).

Задача 3.3

Сколько рабочих завода нужно обследовать в порядке случай­ной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью (Р), равной 0,954, можно было бы гарантировать ошиб­ку не более 5 руб.? Предполагаемое среднее квадратическое отклоне­ние s = 20 руб.

Решение.

Из формулы находим п:

Примечание. В формулах для определения необходимой численности выборки, получаемых из формул случайной ошибки вы­борки, предполагается обязательное знание величины дисперсии признака (s ²) или [w (1 - w)]. Так, для по­вторной выборки при определении средней

а при определении доли

Для бесповторной выборки соответственно

Обычно в этих формулах используется значение дисперсии при­знака в аналогичных предшествующих исследованиях или же прово­дится пробное обследование небольшого числа единиц, для которых определяется значение s ². В случае изучения доли определенных еди­ниц в совокупности при отсутствии каких-либо сведений о диспер­сии принимается максимальное значение [w(l- w)], равное 0,25.

Задача 3.4

Средняя продолжительность горения, установленная путем ис­пытания 10 случайно отобранных электрических лампочек, оказа­лась равной 1280 ч при среднем квадратическом отклонении 18 ч.

С какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом предельная ошибка выборки (т.е. расхождение между выбороч­ной и генеральной средней) не превысит 12 ч?

Решение.

Поскольку п < 20, имеем дело с малой выборкой. Определяем среднюю ошибку малой выборки:

Из формулы предельной ошибки выборки находим:

Поскольку при малой выборке вероятность наступления той или иной ошибки выборки подчиняется распределению Стьюдента и, в частности, вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле

обращаемся к соответствующей таблице, где рассчитаны вероятнос­ти S(t) таблицу, и находим для заданных п и {(на пересечении) значение S(t), а затем уже рассчитываем 2S(t) — 1. Так, в нашем примере по соответствующей таблице для п = 10 — 1 и t = 2 получаем S(t) = 0,962. Отсюда искомая вероятность допуска ошибки не более 12 ч равняется 2 • 0,962 — 1 = 0,924.

(Значение п в таблице принимается на единицу меньше числа наблюдений, т.е. как число степеней свободы. В нашем примере число наблюдений 10, следовательно, в таблице ищем графу с п = 9.)

Задача 3.5

Для определения средней заработной платы рабочих завода была произведена 20%-ная бесповторная выборка (по цехам) с отбором единиц пропорционально численности групп. Результаты выборки представлены в приводимой ниже таблице:

Цех	Объем выборки, чел., ni	Средняя заработная плата, руб.,	Среднее квадратическое отклонение, руб., si
	100 1
Всего		—	—

С вероятностью 0,997 (т.е. t = 3) определить пределы, в которых находится средняя заработная плата всех рабочих завода.

Решение.

А. Находим общую выборочную среднюю заработную плату:

Б. Находим среднюю из групповых дисперсий:

В. Определяем предельную ошибку выборочной средней зара­ботной платы. Для типической бесповторной выборки

Отсюда генеральная средняя

т.е средняя заработная плата всех рабочих находится в пределах от 880,5 руб до 896,3 руб.

В статистике часто приходится сравнивать результаты двух (или более) выборок. И на основании сравнения двух выборочных сред­них (или долей) делается вывод о случайности или существенности их расхождений. Для этого абсолютная разность показателей сопоставляется со средней ошибкой разности Если при п > 20 результат этого соотношения t < 3, то делается вывод о случайности расхождений. Если же объем вы­борки мал, т.е. п < 20, то полученное значение t (фактическое) срав­нивают с табличным, определяемым по таблицам t-распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы и уровне значимо­сти. И если t < Г_таб1, расхождения можно считать случайными. (Число степеней свободы при этом определяется как n₁+ п₂ -2.)

Задача 3.6

Предположим, на предприятии из коллектива рабочих выбороч­но обследовано 25 мужчин и 25 женщин. Среднемесячная заработ­ная плата мужчин оказалась равна 830 руб. при среднем квадратическом отклонении 20 руб., а у женщин 780 руб. при среднем квадратическом отклонении 30 руб. Определить, можно ли считать расхож­дение между средней заработной платой мужчин и женщин случай­ным.

Решение.

А. Находим абсолютную разность средних:

Б. Средняя ошибка разности

В. Находим t.

Так как t > 3, то расхождение между средней заработной платой мужчин и женщин нельзя считать случайным.