Логические операции над высказываниями

1. Отрицание.

Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если высказывание А истинно.

Отрицание высказывания А обозначается и читается «не А» или «неверно, что А». Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы:

А		или	А
и	л
л	и

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.

Здесь цифрами 1 и 0 обозначены соответственно истинность и ложность высказывания.

Пусть А высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание
, которое называется двойным отрицанием высказывания А. Ясно, что логические значения высказываний и А совпадают.

Например, для высказывания «Река Волхов вытекает из озера Ильмень» отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень» или «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов не вытекает из озера Ильмень».

2. Конъюнкция. (логическое умножение).

Конъюнкцией двух высказываний А, В называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания А, В истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно (т.е. в остальных случаях).

Конъюнкция высказываний А, В обозначается символом А&В или АÙВ, читается «А и В». Высказывания А, В называются членами конъюнкции. Все возможные логические значения конъюнкции двух высказываний А и В описываются следующей таблицей истинности.

А	В	АÙВ

Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далекие друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний. Например: «В огороде бузина и в Киеве дядька».

3. Дизъюнкция. (логическое сложение).

Дизъюнкцией двух высказываний А, В называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний А, В истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний А, В обозначается символом А Ú В, читается «А или В». Высказывания А, В называются членами дизъюнкции. Все возможные логические значения дизъюнкции двух высказываний А и В описываются следующей таблицей истинности:

А В АÚВ

Например, высказывание «В треугольнике DFE угол D или угол E острый истинно, так как обязательно истинно одно из высказываний: «В треугольнике DFE угол D острый», «В треугольнике DFE угол E острый». В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

4. Импликация.

Импликацией двух высказываний А, В называется новое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В – ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний А, В обозначается символом (или ), читается “если А, то В”или ”из А следует В”. Высказывание А называют условием или посылкой, высказывание В – следствием или заключением, высказывание - следованием или импликацией.

Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

А	В

Например, высказывание “если число 12 делится на 6, то оно делится на 3”, очевидно, истинно, так как здесь истинна посылка “ Число 12 делится на 6” и истинно заключение “Число 12 делится на 3”.

Употребление слов “если…, то…” в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание А ложно, то высказывание “Если А, то В” вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида “ если А, то В” в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение В вытекает из предложения А. Употребление слов “если…, то…” в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл содержания высказываний не рассматривается.

Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме “Если А, то В”. Если при этом известно, что А истинно, и доказана истинность импликации , то мы вправе сделать вывод об истинности заключения В.

4.5. Эквиваленция.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний А, В называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания А, В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. И ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний А, В обозначается символом (или , реже ), читается “для того, чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы А”, или “ А тогда и только тогда, когда В”. Высказывания А, В называются. Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности:

А	А

Например, эквиваленция “Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда P= Q” является истинной, так как высказывания “Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный” и “В треугольнике SPQ с вершиной S и основанием PQ P= Q” либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Эквивалентность играет большую роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, т.е. в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного их двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы делаем заключение об истинности или ложности второго члена эквивалентности.