Примеры моделей звеньев

Сделаем обозначения

C учетом сделанных предположений и обозначений дифференциальные уравнения системы примут вид

В состав полученного выражения входит уравнение установившегося режима -первый и третий член в левой части и первый член в правой части. Установившееся движение нам задано и не представляет предмета исследования. Вычтем из полученного уравнения уравнение установившегося движения и получим уравнение в отклонениях, поведение которых нас и интересует. В дальнейшем, в целях сокращения записей, знак D будем опускать. Получим

(2.2.2)

Полученное дифференциальное уравнение является линейным уравнением и определяет линейную модель системы. Отметим, что использовать линейную модель для исследования системы можно только при малых отклонениях переменных и поэтому часто говорят, что результаты исследований, полученных при использовании линейной модели справедливы только в малом.

Уравнение в отклонениях (2.2.2) описывает возмущенное движение системы, являющееся результатом действия каких-либо возмущений, приводящих к появлению отклонений от установившегося режима. Уравнение установившегося режима описывает невозмущенное движение.

Сложность решения дифференциальных уравнений высокого порядка без применения вычислительной техники и невозможность на основании численных решений создать общие методы анализа и синтеза систем привели к широкому использованию методов, связанных с применением математического аппарата преобразований Лапласа и Фурье. Эти методы и составили сущность так называемой классической теории автоматического управления.

Необходимо отметить, что существуют нелинейные функции, которые невозможно линеаризовать по методу малого отклонения и, в этих случаях, используют специальные методы, разработанные для исследования нелинейных систем.

Рассмотрим случай, когда все переменные состояния могут быть измерены, а результаты этих действий могут быть использованы для управления системой. Однако такой случай не всегда технически реализуем. Поэтому для систем автоматического управления вводится понятие управляемости.

Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами:

, (2.2.3)

где – матрицы с постоянными коэффициентами.

При этом управление полагается скалярным, т.е. управление объектом осуществляется по одной координате.

Заданы начальная и конечная точка , и . Задача состоит в том, чтобы перевести систему из заданного начального положения в некоторую точку, совпадающую с началом координат. При этом никаких ограничений на величину управляющего воздействия и время регулирования не накладывается. Если такая задача решается при любых начальных и конечных условиях, то такая система является управляемой.

Система называется управляемой, если существует такое управление, которое из любого начального состояния в любое конечное положение. При каких условиях система является управляемой? Попытаемся выяснить причины неуправляемости. Это удобно сделать с помощью геометрического представления движения системы. Как отмечалось выше решение линейного однородного уравнения имеет вид:

Если какой-нибудь из коэффициентов , а остальные отличны от нуля, то движение происходит в инвариантном подпространстве матрицы . С геометрической точки зрения все траектории лежат в плоскости S, т.е. вектор также направлен вдоль этой плоскости. Предположим, что вектор тоже лежит в плоскости . Очевидно, что добавка к вектору величины оставляет вектор в той же плоскости, хотя и деформирует траекторию движения вектора состояния. Следовательно, если начальная точка лежит в плоскости , а конечная — нет, то попасть в точку с заданными координатами нельзя, так как не существует управления, которое переводит состояние системы с заданными параметрами из начальной точки в конечную. Такая система неуправляема по определению.

Условия управляемости в терминах исходной системы получены Калманом и имеют вид:

Для управляемости системы (2.2.3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие вида

.

(2.2.4)

Это условие выполняется, если матрица U вида

имеет ранг, равный N.

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее определителя, отличный от нуля.

Рассмотрим поведение системы в пространстве состояний собственных векторов матрицы А (для простоты будем полагать, что собственные значения матрицы А — действительные и различные). Как мы убедимся в дальнейшем, в этом пространстве условия управляемости становятся практически очевидными. Введем неособое преобразование вида

,

(2.2.5)

где .

Выше отмечалось, что и существует. Поэтому вектора X и Y связаны однозначной зависимостью. Следовательно, задачи об управляемости в пространствах этих переменных эквивалентны.

В пространстве новых переменных поведение САУ описывается уравнением

.

(2.2.6)

Рассмотрим произведение

.

так как , то

,

где

Следовательно, уравнение (2.2.6) приводится к виду

.

или

.

(2.2.7)

— вектор столбец с компонентами .

Так как матрица Р диагональная, то

, где .

и если хотя бы одно , то координата — неуправляема. Поэтому можно предположить, что, если все , то система управляема.

Рассмотрим n-мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат .

Пусть в пространстве состояния заданы два множества и . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление , определенное на конечном интервале времени , которое переводит изображающую точку в пространстве Х из подобласти в подобласть .

Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояний Х в начало координат. Система будет управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

От пространства состояний Х перейдем к другому пространству посредством неособого преобразования , причем , где — матрица коэффициентов .

Тогда вместо уравнения вида

,

(2.2.8)

где j — матрица возмущающих и задающих воздействий,

u — матрица-столбец управляющий величин,

y — матрица-столбец регулируемых величин,

x- матрица-столбец фазовых координат,

будем иметь

.

(2.2.9)

Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:

, , , и .

Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования приводит к эквивалентным системам различной структуры. При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (2.2.9) или часть фазовых координат не участвует в формирование вектора выходного сигнала . В первом случае система не будет полностью управляемой, а во втором — полностью наблюдаемой.

В случае не полностью управляемой системы ее исходное уравнение могут быть представлены в виде

Это иллюстрирует рисунок. 2.2.1. Набор фазовых координат соответствует управляемой части фазовых координат, а набор — неуправляемой части.

Рисунок. 2.2.1. Пример не полностью управляемой системы

Калманом был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность управляющей части системы, то есть порядок первой группы уравнений (2.2.9) совпадает с рангом матрицы

,

где k — размерность управляющего вектора.

При система полностью управляема, при — система не полностью управляема, при — система полностью не управляема.

Рисунок. 2.2.2. Структура исходной системы.

На рисунке. 2.2.2 представлен простейший пример. Если рассматривать выходную величину при нулевых начальных условиях, то можно записать

,

где определяются начальными условиям до приложения входного сигнала , а — вынужденная составляющая. Система устойчива при .

Если начальные условия до приложения управляющего сигнала были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции

В этом случае переходный процесс в системе определяется как

Как следует из последнего выражения, во втором случае система описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при .

Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается , а .

При введении второй составляющей управления система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточный функций по управлению

.

В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде

.

Эти уравнения отличаются от (2.2.9) тем, что фазовые координаты группы не входят ни в выражения для и , ни в первое уравнение, куда входят фазовые координаты группы . Группа фазовых координат относится к ненаблюдаемым.

Калманом показано, что порядок первой группы уравнений совпадает с рангом матрицы V вида

.

При система полностью наблюдаема, при — система не полностью наблюдаема, при — система полностью ненаблюдаемая.

На рисунке. 2.2.3 изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.

Рисунок. 2.2.3. Пример не полностью наблюдаемой системы

В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат:

управляемую, но ненаблюдаемую часть ,

управляемую и наблюдаемую часть ,

неуправляемую и ненаблюдаемую часть ,

неуправляемую но наблюдаемую част .

Исходные уравнения системы (2.2.9) можно для самого общего случая записать следующим образом:

Левая часть характеристического уравнения

,

где Е — единичная матрица размера , системы в этом случае содержит четыре сомножителя:

Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть измерены датчиками различных типов.

В статическом режиме работы все составляющие вектора состояния САУ не зависят от момента времени их рассмотрения и остаются постоянными, соответствующими условию равновесия системы. Это состояние в зависимости от структуры и параметров САУ может быть устойчивым или неустойчивым. Если после изменения вектора внешних воздействий система приходит в состояние, при котором все составляющие вектора ее состояния становятся постоянными, то есть система возвращается в положение равновесия, то это состояние равновесия является устойчивым. В случае, когда после изменение входного сигнала или возмущения, система не стремится в первоначальное состояние, а вектор выходных сигналов изменяется независимо от внешнего воздействия, то такое состояние является неустойчивым. В этом случае система автоматического управления является неустойчивой. Графическая интерпретация таких режимов работы САУ представлена на рисунке. 2.2.4.

Рисунок. 2.2.4. Графическая интерпретация устойчивости.

Под устойчивостью понимается свойство САУ возвращаться в исходное состояние после вывода ее из этого состояния и прекращения влияния задающего или возмущающего воздействия.

Только устойчивая система автоматического управления может выполнять возложенные на нее функции. Поэтому одной из основных задач САУ является обеспечение ее устойчивости.

Основы теории устойчивости САУ были заложены А.М. Ляпуновым в его работе "Общая задача устойчивости движений", опубликованной в 1882 г.

Если САУ представляется системой линейных дифференциальных уравнений, то ее устойчивость не зависит от величины и точки приложения внешних возмущений.

Для определения устойчивости необходимо составить характеристическое уравнение D (p) и найти его корни. Составить его можно, воспользовавшись передаточной функцией САУ.

Для устойчивости линейной стационарной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными. Если, корни расположить на комплексной плоскости (рисунок.5), то геометрическая интерпретация необходимых и достаточных условий устойчивости будет следующей: система устойчива, когда все корни характеристического уравнения располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Рисунок. 2.2.5. Комплексная плоскость корней

Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система неустойчива. Если корни располагаются на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости и переходной процесс будет иметь постоянную амплитуду.

Общий вид характеристического уравнения

D (p) = C ₀ + C ₁(p) + … + C_nPⁿ,

где C ₀, C ₁ … C_n – коэффициенты, P_i – корни характеристического уравнения.

Например: P_i = a _i, P_k = a _k + jw _k, P_{k+ 1} = a _k - jw _k.

Полином D (p) является знаменателем передаточной функции.

Непосредственное нахождение корней характеристического уравнения доступно лишь для уравнений первого и второго порядка. При n > 2 решение или громоздко, или вообще в аналитической форме невозможно. В связи с этим возникает задача суждения об устойчивости косвенными методами, позволяющими оценить расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости без непосредственного их определения. Решают ее с помощью определенных правил, называемых критериями устойчивости.