Дифференциальные уравнения. Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторно-матричном виде:

. (2.1.1)

Здесь – вектор состояния, n – порядок объекта; – вектор управляющих воздействий, ; A – квадратная матрица действительных коэффициентов; B – прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1.1) называют дифференциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

(2.1.2)

где – вектор выхода; C – прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1.1) и (2.1.2) описывают линейный многоканальный объект.

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение:

(2.1.3)

которое также может быть приведено к виду (2.1.1) и (2.1.2) после соответствующего выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (n), а и .

Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная переменная y и ее производные до включительно

При этом вместо (2.1.3) имеем систему уравнений

(2.1.4)

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1.1) и (2.1.2). Здесь матрицы A, B и C имеют вид

причем их размерности следующие: , ,

Следует отметить, что переход к описанию (2.1.1), (2.1.2) не является однозначным: для одного объекта можно выбрать бесконечное множество наборов переменных состояния; важно, чтобы они были линейно-независимыми. При этом каждой совокупности переменных состояния будут соответствовать свои матрицы объекта A, B и C.

Пример 2.1.1

Записать уравнения состояния одноканального объекта, модель
которого имеет вид

.

Рассмотрим два варианта переменных состояния.

Если в качестве переменных состояния выбрать выходную величину и ее производную , то получим канонические уравнения состояния и матрицы объекта типа (2.1.4):

Выбирая новые переменные получим уравнения состояния и матрицы объекта

В общем случае одноканальный объект может описываться дифференциальным уравнением вида

(2.1.5)

Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.1.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1.1), (2.1.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Пример 2.1.2

Записать уравнения состояния объекта с математической моделью вида

Разрешим это уравнение относительно разности

,

выберем в качестве переменных состояния и получим следующие уравнения состояния и матрицы объекта:

Таким образом, в качестве основной динамической характеристики линейных объектов управления используются дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1.1), (2.1.2).