Определители третьего порядка

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка, т.е. таблицу чисел

.

Понятия элемента, строки, столбца вводятся для матрицы совершенно так же, как для матриц второго порядка.

Определение. Определителем матрицы называется число

а ₁₁ а ₂₂ а ₃₃ + а ₁₂ а ₂₃ а ₃₁ + а ₁₃ а ₂₁ а ₃₂ – а ₁₃ а ₂₂ а ₃₁ – а ₁₂ а ₂₁ а ₃₃ – а ₁₁ а ₂₃ а ₃₂.

Определитель записывают в виде

.

Формулу, несмотря на внешнюю сложность нетрудно запомнить.

Из указанных схем вытекает простое правило вычисления определителя третьего порядка, которое называется правилом треугольника.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка

Перестановкой из чисел 1, 2, …, n называют расположение этих чисел в каком-то определённом порядке. Например, 3, 2, 1, 4 – перестановка из чисел 1, 2, 3, 4.

Пусть дана какая-то перестановка j₁,j₂,…,j_n из чисел 1, 2, …, n. Обозначим её сокращённо J и запишем

J = (j₁,j₂,…,j_n).

Назовём инверсией в перестановке J любую пару чисел в этой перестановке, из которых большее расположено левее меньшего.

Пример. В перестановке (3, 2, 1, 4) имеются 3 инверсии: (3, 2), (3, 1), (2, 1).

Будем обозначать общее число инверсий в перестановке J через (J). Перестановка J называется чётной, если число (J) – чётное, и нечётной, если число (J) –нечётное.