ТЕМА 7. КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Определение 5. Непустое множество К с двумя б.а.о. + (сложение) и (умножение) называется кольцом, если

1) К является абелевой группой относительно операции +;

2) умножение ассоциативно;

3) выполняются свойства дистрибутивности:

для всех а,b,c ÎK: (a+b)c=ac+bc; c(a+b)=ca+cb.

Если для операции умножения существует единичный элемент, то К – кольцо с единицей, если операция умножения коммутативна, то К – коммутативное кольцо. Приведем четыре основных примера колец:

I. Z – кольцо целых чисел.

II. - кольцо вычетов по modm.

III. R[x] – кольцо многочленов от х с коэффициентами – вещественными числами.

IV. Mat(n;R) – см. пример 3.

Кольца в I-III являются коммутативными с единицей, кольцо в IV – некоммутативное с единицей.

Определение 6. Коммутативное кольцо с единицей, все ненулевые элементы которого обратимы относительно операции умножения, называются полем.

Простейшими примерами полей являются Q, R, C, Z_p.

Рассмотрим подробнее кольцо многочленов от х с коэффициентами в поле . Если

f(x) Î

то n=degf(x) – степень многочлена f(x), a_n – старший коэффициент.

Пусть f(x), g(x) Î , 1£ deg g(x) £ deg f(x). Тогда с помощью, например, процедуры «деления столбиком», можно получить представление вида

f(x)=A(x)g(x)+r(x), (13)

где А(х), r(x) Î , deg r(x) < deg g(x).

Если в формуле (13) остаток r(x)= 0, то говорят, что f(x) делится на g(x).

Определение 7. Многочлен f(x) Î называется проводимым в кольце , если существуют многочлены f ₁ (x), f ₂ (x) Î такие, что f(x)= f ₁ (x) f ₂ (x), deg f ₁ (x) ³1 ,deg f ₂ (x) ³1. В противном случае многочлен f(x) называется неприводимым в .

Определение 8. Пусть f(x), g(x) Î , deg g(x) ³1, deg f(x) ³1, f(x)= А(х) r(x), g(x)=B(x)g(x), A(x), B(x), g(x) Î . Тогда g(x) – общий делитель многочленов f(x) и g(x). Если deg g(x) – максимально возможная, старший коэффициент многочлена g(x) равен 1, то g(x) называется наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x): g(x)= НОД (f(x),g(x)). В случае g(x)= 1 многочлены f(x) и g(x) называются взаимно простыми.

Алгоритм деления с остатком позволяет найти НОД (f(x),g(x)). Эта идея принадлежит Евклиду, который применил ее для нахождения НОД натуральных чисел.

Пример 13. Найти НОД (119,187) с помощью алгоритма Евклида.

Решение. Будем последовательно делить с остатком 187 на 119, затем 119 на остаток и т.д. вплоть до получения нулевого остатка:

187=1×119+68: 119=1×68+51; 68=1×51+17; 51=3×17+0.

Последний ненулевой остаток равен искомому НОД, т.е. НОД(119,187)=17.

Другой вариант нахождения НОД связан с разложением чисел в произведение простых чисел. В нашем случае 119=7×17; 187=11×17; НОД(119,187)=17.

Пример 14. Найти НОД(х ³+ х ²-2, х ⁴+2 х ³+3 х ²+2 х +2) с помощью алгоритма Евклида.

Решение. Для многочленов действуем как в примере 13 с использованием последовательного деления с остатком в форме (13). В рассматриваемом случае

х ⁴+2 х ³+3 х ²+2 х +2=(х +1)(х ³+ х ²-2)+2 х ²+4 х +4;

х ³+ х ²-2= (2 х ²+4 х +4)+0,

т.е. искомый НОД= (2 х ²+4 х +4)= х ²+2 х +2, где мы учли требование к НОД в определении 8: старший коэффициент НОД должен быть равен 1.

Пусть g(x) Î , deg g(x) ³1, g(x) – неприводим.

Для любого f(x) Î получим представление(13). Обозначим - вычет многочлена f(x) по модулю g(x). Операции на множестве вычетов вводятся стандартно:

Неприводимость многочлена g(x) обеспечивает справедливость важного факта: множество всех вычетов образует поле. Например, в случае g(x)=х ²+1 получаем поле, изоморфное полю комплексных чисел С. Действительно, ; все операции с остатками r(x)=a+bx, a,b Î R, идентичны введенным в теме 1 операциям с комплексными числами a+bi.

Пример 15. Рассмотрим поле вычетов в кольце , где (см. тему 4) по модулю неприводимого в многочлена g(x)=x ³+ x ²+ . Найти в этом поле вычетов .

Решение. Применим сначала алгоритм Евклида аналогично примеру 14:

x ³+ x ²+ = х ; (14)

. (15)

Выразим из (14) через g(x) и и подставим в (15): = x ³+ x ²+ ,

= (x ³+ x ²+

Поэтому

Далее мы приведем тематику и примерный вариант контрольной работы и 25 вариантов расчетно-графической работы с небольшими пояснениями.

Вариант контрольной работы состоит из 5 задач:

1. Вычисления с комплексными числами.

Найти и все значения .

2. На данном множестве Х задана операция. Проверить, что задана б.а.о. Обладает ли эта операция свойствами ассоциативности (а), коммутативности (к), наличием единичного элемента (е). Составить еще одну б.а.о., обладающую данным набором свойств.

Пример. Х=N, ab=ab+a-b. Составить на N б.а.о., обладающую набором свойств ().

3. Найти все перестановки х ÎS₅, удовлетворяющие уравнению fx ²= h для заданных fh ÎS₅.