Тема 6. Приближение вещественных чисел рациональными

В этой большой классической теме мы ограничимся только одной задачей: приближением с помощью последовательностей Фарея.

Определение 4. Последовательностью Фарея порядка n называется множество , состоящее из всех несократимых дробей, знаменатель которых не превосходит n, записанных в порядке возрастания.

Например, .

Следующая теорема описывает рекуррентную процедуру, позволяющую строить F_n.

Теорема 3. 1) Если - две соседние дроби в F_n, то a ₂ b ₁- a ₁ b ₂=1. 2) Алгоритм перехода от F_n к F_{n+ 1} осуществляется следующим образом. Рассмотрим - две соседние дроби в F_n. Если b ₁+ b ₂> n +1, то между не появляется нового элемента. Если b ₁+ b ₂= n +1, то между появляется единственный новый элемент – медианта этих дробей: .

Следующая теорема, принадлежащая Гурвицу, доказывается с помощью последовательностей Фарея. Она позволяет строить бесконечную последовательность хороших рациональных приближений для иррациональных чисел.

Теорема 4. Если a - вещественное иррациональное число, то существует бесконечно много несократимых дробей таких, что

. (12)

Пример 12. Найти следующее после приближения Архимеда рациональное приближение для числа a=p-3, удовлетворяющее неравенству (12).

Решение. Будем искать необходимое рациональное приближение среди соседних k a дробей в F_n. Отметим, что a=0,1415926… Начнем с F ₅: Далее увеличиваем n, используем утверждение 2) теоремы 3.

F ₆: F ₇: F ₈:

F ₁₅: F ₂₂: F ₂₉: …

F ₁₀₆: F ₁₁₃:

Пусть . Тогда , т.е. ответом к данному примеру является приближение .