Тема 2. Бинарные операции

Пусть Х – произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией (б.а.о.) называется отображение

t: Х+Х®Х.

Часто для a,b Î X будем обозначать t(a,b)= a * b.

Б.а.о. t называется ассоциативной, если для всех a,b,c Î X выполняется равенство (a * b)* c = a *(b * c).

Б.а.о. t называется коммутативной, если для всех a,b Î X будет a * b = b * a. Элемент е Î Х называется единичным для б.а.о., если для всех a Î X

е * a= a * е = а.

Элемент a Î X называется обратимым для б.а.о. t, если существуют е Î Х, b Î Х такой, что a * b = b * a=е.

Очевидно, что единичный элемент е Î Х – единственный.

Если е ¢Î Х – еще один единичный элемент, то из (9) е * е ¢= е ¢, е * е ¢= е, т.е. е = е ¢.

Аналогично, если a Î X, b,b ¢Î X такие, что a * b = b * a=е, a * b ¢= b ¢* a=е, и операция t ассоциативна, то (b * a) b ¢= е * b ¢ =b ¢, (b * a) b ¢= b(a * b ¢) =b * e=b, т.е. b ¢= b. Поэтому корректно обозначение b=a ^-1. Легко доказать, что b ^-1 =a, т.е. (а ^-1)^-1= а.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 3. Пусть Х Mat(n; R) – множество всех квадратных матриц порядка n, все элементы которых – вещественные числа; А,ВÎХ, А*В=А×В. Проверить, что задана б.а.о. Является ли эта операция ассоциативной, коммутативной? Имеется ли единичный элемент? Найти все обратимые элементы.

Решение. 1) Так как А×В – квадратная матрица порядка n, то мы имеем б.а.о., т.е. для всех А,ВÎХ будет А*ВÎХ.

2) Так как для всех матриц (АВ)С=А(ВС), то операция ассоциативна (а).

3) Так как в общем случае неверно АВ=ВА, то операция не является коммутативной ().

4) здесь е =Е – единичная матрица порядка n, так как для всех АÎХ будет АЕ=ЕА=А (е).

5) Обратимость в данном случае означает наличие А^-1. Хорошо известно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы det A¹0. Итак, все обратимые элементы в Х – это матрицы с ненулевым определителем.

Пример 4. Пусть Х=Z, для всех n,m ÎZ определим n * m =- n - m. Задание то же, что и в примере 3.

Решение. 1) Если n,m ÎZ, то - n - m ÎZ, т.е. имеем б.а.о.

2) Вычислим (1*2)*3=(-3)*3=3-3=0; 1*(2*3)=1*(-5)=-1+5=4, т.е. операция не ассоциативна ().

3) n * m = m * n =- n - m, т.е. операция коммутативна (к).

4) Если е * n = n для всех n ÎZ, то – е - n=n, e=- 2 n, но е не должен зависеть от n, т.е. единичный элемент отсутствует ().

5) обратимые элементы не существуют, т.к. отсутствует единичный элемент.

Пример 5. Пусть Х=С¢ - множество всех комплексных чисел, z ₁* z ₂= z ₁× z ₂.Предлагается самостоятельно, используя тему 1, показать, что задана б.а.о., обладающая свойствами а,k,e, все z ¹0 являются обратимыми, в точности как для R.