Решение. Искомая сила давления по третьему закону Ньютона (см

Искомая сила давления по третьему закону Ньютона (см. (13Ф)) равна по модулю силе нормальной реакции N (см. рис. 9)

Величина N находится из второго закона Ньютона (12Ф), записанного в проекциях на ось X для тела, находящегося в точке А (рис. 9),

где скорость тела в точке А; R радиус окружности, по которой движется тело. В системе «тело Земля» отсутствуют силы трения и сопротивления, следовательно, можно использовать закон сохранения энергии (25Ф). В точке D тело обладает потенциальной энергией (23Ф)

= mg , (3)

где наименьшая высота, необходимая для совершения полного оборота.

D

X

Рис. 9

С

В

R

А

h

О

N

v

В точке А тело имеет потенциальную и кинетическую энергию (23Ф) и (20Ф)

где (см. рис. 9). Тогда

По закону сохранения энергии , или, учитывая (3) и (4), получим:

Тело скатывается с наименьшей высоты , необходимой для совершения полного оборота. Отсюда следует, что в наивысшей точке траектории (точка В) на тело действует только сила тяжести (состояние невесомости). Применим второй закон Ньютона в точке В

и закон сохранения энергии для положений тела в точках D и В

Из (6) и (7) имеем

Подставив (8) в (5), найдем:

Из уравнений (2) и (9) с учетом (1), найдем

Угол отсчитывается от вертикали по часовой стрелке. Следовательно, в верхней

точке петли (точка В) = 0 и 0. (см. (10)). Этот результат мы ранее использовали при нахождении (6) и получили его из физических соображений (тело скатывается с минимальной высоты , необходимой для совершения полного оборота). Для нижней точки петли (точка С) угол = , тогда из (10) следует

Пример 11. Тело массой M лежит на вершине гладкой полусферы радиуса R. В тело попадает пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью , и застревает в нем. Пренебрегая смещением тела во время удара, найти высоту h, на которой оно оторвется от поверхности полусферы. Высота отсчитывается от основания полусферы. При какой скорости пули тело сразу оторвется от полусферы?

M, m, R, .

=?

Решение

Рис.10

h

X

R

О

1

2

М

Полусфера гладкая. Это означает, что в системе «тело Земля» отсутствует сила трения. Сила сопротивления воздуха также не учитывается. Следовательно, можно использовать закон сохранения энергии (25Ф). Энергия тела вместе с пулей сразу после удара равна энергии тела с пулей в момент отрыва от полусферы. Эти энергии состоят из потенциальной и кинетической энергии. Энергия находится в точке 1 на вершине полусферы (см. рис. 10)

Здесь скорость тела с пулей сразу после удара пули. Энергия находится в точке 2 в момент отрыва от полусферы (см. рис)

где скорость в момент отрыва от полусферы. По закону сохранения энергии = , или, учитывая уравнения (1) и (2), получим:

Скорость найдем из закона сохранения импульса (18Ф)

Проектируя это равенство на горизонтальное направление, получим:

Необходимо заметить, что кинетическая энергия пули не равна кинетической энергии тела с застрявшей в нем пулей . Это объясняется тем, что в системе «пуля тело» во время удара (время движения пули в теле) действует сила трения, работа которой приводит к уменьшению (диссипации) кинетической энергии системы. Для определения скорости применим второй закон Ньютона в точке 2 в проекциях на ось X (рис. 10)

где . Тогда из (6)

, (7)

откуда видно, что на бóльшей высоте h тело отрывается с бóльшей скоростью. Подставим выражения (5), (7) в (3) и из полученного равенства найдем искомую высоту

Для определения скорости пули , при которой тело сразу отрывается от полусферы, воспользуемся законом сохранения импульса в проекциях на горизонтальное направление

где скорость тела вместе с пулей в момент отрыва от полусферы. Скорость найдем из второго закона Ньютона. При этом учтем, что на тело действует то лько сила тяжести (состояние невесомости). Тогда

Из (8) и (9) получим скорость, при которой тело сразу отрывается от полусферы

Пример 12. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами = 100 г и = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы. Трением и массой нити пренебречь.