Решение. 1) Определяем поток доходов, который принесет облигация инвестору за три года

1) Определяем поток доходов, который принесет облигация инвестору за три года. В конце каждого года инвестор получит купон в сумме 200 тыс. грн., и в конце третьего года ему выплатят сумму номинала в размере 1 млн. грн. Таким образом, облигация принесет следующий поток доходов.

2) Определяем дисконтированную стоимость суммы каждого платежа по облигации. Для первого платежа она равна:

Для второго платежа:

Для третьего платежа:

3) Определяем цену облигации:

Грн.

Запишем формулу определения цены облигации в символах:

где: Р — цена облигации,

С—купон;

N—номинал;

п — число лет до погашения облигации;

r — доходность до погашения облигации ( данную величину также часто называют доходностью к погашению).

В формуле (1) важно отметить, что п — это количество лет, которые остаются до погашения бумаги. Например, облигация выпущена на 10 лет, однако 7 лет уже прошло. Определяя курсовую стоимость такой бумаги следует взять п равной трем. Это вытекает из принципа дисконтирования будущих доходов. В данном случае облигация принесет доходы инвестору только за три оставшиеся года.

В формуле (2) появилось такое понятие как доходность до погашения (или доходность к погашению). Доходность до погашения — это доходность в расчете на год, которую обеспечит себе инвестор, если, купив облигацию, продержит ее до погашения. В нашем примере, заплатив за облигацию 902400 грн., вкладчик обеспечил себе ежегодную доходность из расчета 25% годовых. Если владелец облигации продаст ее до момента погашения, то, как правило, он не получит данного уровня доходности, так как конечный результат его операции будет зависеть от цены продажи облигации на рынке.

Формулу (2) можно записать в более компактной форме, воспользовавшись знаком суммы (Σ):

Наиболее важным моментом при расчете цены облигации является определение ставки дисконтирования. Она должна соответствовать уровню риска инвестиций. В нашем примере данная ставка составляла 25%. На практике ее можно взять, например, из котировок, брокерских компаний по облигациям с похожими характеристиками. Ее также можно попытаться определить аналитически, разложив ставку на составные части. Ставку дисконтирования можно представить следующим образом:

где: r — ставка дисконтирования,

rf — ставка без риска, т. е. ставка по инвестициям, для которых отсутствует риск; в качестве такой ставки берут доходность по государственным ценным бумагам для соответвующих сроков погашения,

l — премия за ликвидность,

i — темп инфляции,

re — реальная ставка процента.

Например, rf = 15%, re = 5%, l = 2%, i = 3%, тогда

Ставка без риска (rf) может учитывать инфляцию. Однако если инвестор полагает, что инфляция будет развиваться более высоким темпом, он также учтет это в ставке дисконтирования. Приобретая бумагу, инвестор сталкивается с риском ликвидности, который связан с тем, насколько быстро и по какой цене можно продать бумагу. Поэтому данная величина должна найти отражение в ставке дисконтирования.

Ставку дисконтирования также можно определить аналитически, о чем будет сказано в главе, посвященной управлению портфелем ценных бумаг.

Рассмотрим еще один пример. N = 1млн. грн., купон — 20%, доходность до погашения — 15%, до погашения остается три года. Цена облигации равна:

В данном случае цена облигации оказалась выше номинала. Такая ситуация объясняется тем, что, согласно условиям примера, рынок требует по облигации доходность до погашения на уровне 15% годовых. Однако по ней выплачивается более высокий купон — 20%. Каким образом инвестор может получить более низкую доходность, чем 20%? Это возможно лишь в том случае, если он приобретет облигацию по цене выше номинала. При погашении облигации ему выплатят только номинал. Поэтому сумма премии, которую он уплатил сверх номинала, уменьшит доходность его операции до 15%.

Между курсовой стоимостью и доходностью до погашения облигации существуют следующие зависимости.

1) Цена облигации и доходность до погашения находятся в обратной связи. При повышении доходности цена облигации падает, при понижении — возрастает.

2) Если доходность до погашения выше купонного процента, облигация продается со скидкой.

3) Если доходность до погашения ниже купонного процента, облигация продается с премией.

4) Если доходность до погашения равна купонному проценту, цена облигации равна номиналу.

5) При понижении доходности до погашения на 1° о цена облигации возрастает в большей степени в сравнении с ее падением при увеличении доходности до погашения на 1%.

Как уже отмечалось, котировки облигаций приводятся в процентах к номинальной стоимости. Поэтому при определении курсовой стоимости облигации можно пользоваться не величинами в денежном выражении, а в процентах. В этом случае номинал принимается за 100%. В качестве иллюстрации запишем приведенный выше пример с использованием процентов:

Купон по облигации может выплачиваться чаще, чем один раз в год. В таком случае формула (3) примет вид:

где: m — частота выплаты купона в течение года.

Как видно из формулы (4), количество слагаемых увеличивается в m раз. Дополним наш последний пример условием, что купон выплачивается два раза в год, и найдем цену облигации:

Формулы (3) и (4) можно привести к более удобному виду, учитывая тот факт, что выплата купонов представляет собой не что иное как аннуитет:

Приведенные формулы позволяют рассчитать чистую цену облигации, т. е. цену на основе целых купонных периодов. Однако бумаги продаются и покупаются также в ходе купонного периода. Поэтому следует ответить на вопрос, каким образом рассчитать полную цену облигации, т. е. цену, скорректированную на размер накопленных к моменту сделки суммы купонных процентов. Общий подход и в данном случае остается прежним, т. е. необходимо дисконтировать будущие доходы с учетом времени, которое остается до их получения.

Пример.

N = 100 тыс. грн., r = 20%, купон равен 10% и выплачивается один раз в год. До погашения облигации остается 2 года 345 дней. Определить цену облигации. Она равна:

В данном примере первый купон инвестор получит через 345 дней, второй — через год 345 дней и третий купон вместе с номинальной стоимостью — через два года 345 дней. В общем виде формула определения цены облигации для такого случая, когда купон выплачивается один раз в год, имеет следующий вид:

t— число дней с момента сделки до выплаты очередного купона;

п — целое число лет, которое остается до погашения облигации, включая текущий год.

Если купон выплачивается m раз в год, то число купонных периодов в формуле (9) корректируется на m, как было показано выше, а в знаменателе формулы (9) вместо 365 дней указывается число дней в купонном периоде.

Определение курсовой стоимости средне- и долго- срочной бескупонных облигаций.

Формулу определения курсовой стоимости бескупонной облигации можно получить из формулы (9). Поскольку по облигации не выплачиваются купоны, то С = 0 и формула (9) принимает вид:

Пример.

N = 10000 грн., r = 20%, п = 3 года. Определить Р.

Если до погашения облигации остается не целое число лет, то формула примет вид:

t — число дней от момента сделки до начала целого годового периода для облигации;

п — целое число лет, которое остается до погашения облигации, включая текущий год.

На практике приходится сравнивать купонные и бескупонные облигации. В этом случае необходимо помнить о следующем правиле.

Если по купонным облигациям процент выплачивается m раз в год, то формулу следует также скорректировать на m, а именно:

чтобы иметь единую частоту начисления сложного процента во всех финансовых расчетах.

Мы рассмотрели формулы определения курсовой стоимости облигаций. Они позволяют инвестору рассчитать приемлемый для него уровень цены бумаги. В то же время это не означает, что облигации на рынке обязательно будут продаваться по найденной цене. Так происходит потому, что различные вкладчики по-разному могут оценивать риск приобретения облигации, и, следовательно, использовать несколько отличные ставки дисконтирования. Кроме того, на цену будут также влиять силы спроса и предложения. Если спрос превышает предложение, то это создаст потенциал к повышению цены, если предложение больше спроса, то — то к понижению.