Классическое определение вероятности

Пусть имеется равновозможных несовместных событий, образующих полную группу, каждое из них называются элементарным исходом опыта. Те исходы, при которых наступает интересующее нас событие называются благоприятствующими этому событию.

Вероятностью называется отношение числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных исходов , образующих полную группу:

.

Пример 1.3. Найти вероятность того, что при подбрасывании кубика выпадает

1) четная цифра;

2) при двух бросках 12 очков;

3) при двух бросках 11 очков.

Решение:

1) , , ;

2) т.к. любой из 6 цифр на первом кубике соответствует 6 вариантов выпадения цифры на втором кубике .

3) , , поскольку один благоприятный исход- выпадение 5 очков на первом кубике и 6 на втором, второй - 6 очков на первом кубике и 5 на втором.

.

Пример 1.4. Найти вероятность того, что при произвольном наборе пяти клавиш клавиатуры компьютера получится слово «книга». Пусть число кнопок 50.

Решение:

,

,

.

Для расчета вероятности необходимо подсчитывать число элементарных исходов, которые находятся по формулам комбинаторики.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся порядком их размещения.

Число перестановок определяется по формуле:

. По определению , .

Размещения – это комбинации, состоящие из элементов, выбранных из различных элементов, отличающихся как составом, так и порядком элементов.

Их число определятся по формуле:

.

читается « из по ».

Пример 1.5. , , .

Сочетания – это комбинации, состоящие из элементов, выбранных из различных элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Их число определяется по формуле:

Ограниченность классического определения вероятности вызвано следующими требованиями:

1) конечности числа исходов опыта;

2) равновозможностью исходов;

3) несовместностью событий.

Конечность числа исходов можно обойти в некоторых случаях, используя геометрическое определение вероятности. Рассмотрим это на примере.

Пример 1.6. Пусть случайная точка выбирается из прямоугольника. Как определить вероятность попадания точки в овал , если нельзя отдать предпочтение ни одной точке прямоугольника?

Решение: Чем больше площадь овала, тем выше степень возможности попадания случайной точки в овал. Поэтому

Пример 1.7. В течение часа параллельный телефон занят в среднем 30 минут. Найти вероятность того, что, подняв трубку, телефон будет занят.

Решение:Поскольку из 60 минут 30 благоприятствуют событию, что телефон занят,

.