Спектр колебания при гармонической угловой модуляции

В случае тональной модуляции сигналы с ЧМ и ФМ описываются одной и той же функцией времени и, следовательно, их спектры так же одинаковы:

u (t) = U _m cos (ω₀ t + m sin Ω t).

Это выражение совпадает с (2.23), начальная фаза φ₀, а также начальная фаза модулирующей функции ψ опущены для упрощения выкладок. При необходимости они легко могут быть введены в окончательные выражения.

В данном случае φ(t) = m sin Ω t. Подставляя φ(t) в выражение (2.26), получаем

u (t) = U _m cos (m sin Ω t) cos ω₀ t — U _m sin (m sin Ω t) sin ω₀ t. (2.27)

Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших значениях m. Если m «1, так что имеют место приближенные равенства

cos (m sin Ω t) ≈1, sin (m sin Ω t) ≈ m sin Ω t,

то выражение (2.27) переходит в следующее:

u (t) ≈ U _m (cos ω₀ t — m sin Ω t sin ω₀ t) =

= U _m [cos ω₀ t + 0,5 m cos (ω₀ + Ω) t — 0,5 m cos (ω₀ — Ω) t ] (2.32)

Сравним это уравнение с уравнением для амплитудно-модулированного колебания, у которого модулирующая функция (т. е. передаваемое сообщение) такая же, как и при ЧМ. Так как выражение (2.32) получено из (2.25) для модуляции частоты по закону ω(t) = ω₀ + +ω_д cos Ω t, то для удобства сравнения зададим модуляцию амплитуды по аналогичному закону A (t) = A ₀ cos (1 + M cos Ω t). Тогда амплитудно-модулированное колебание запишется в форме

u _AM(t) = U _m cos (1 + M cos Ω t) cos ω₀ t =

= U _m[cos ω₀ t + 0,5 M cos (ω₀ +Ω) t + 0,5 M cos (ω₀ — Ω) t ] (2.33)

Из сравнения (2.32) и (2.33) видно, что при малых значениях m спектр колебания, как и при AM, состоит из несущей частоты ω₀ и двух боковых частот: верхней ω₀ +Ω и нижней ω₀ — Ω. Единственное отличие заключается в фазировке колебаний боковых частот относительно несущего колебания. При AM фазы колебаний боковых частот симметричны относительно несущей частоты, а при угловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты сдвинута на 180° [знак минус перед последним слагаемым (2.32)]. Это положение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на рис. 2.13, а. Направление вектора DC ₂ при AM обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180° приводит к тому, что вектор модуляции DF всегда перпендикулярен к направлению вектора OD, изображающего несущее колебание. Вектор OF, изображающий результирующее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при m = θ _max «1 амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто фазовую.

Спектральная диаграмма для угловой модуляции при m «1 показана на рис. 2.13, б. Равенство амплитуд колебаний боковых частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на 180°. Амплитуды колебаний боковых частот равны MA ₀/2, и поэтому в данном случае индекс модуляции m совпадает по значению с коэффициентом М, характеризующим глубину изменения амплитуды при AM: Заметим, что ширина спектра при m «1 равна 2Ω, как и при AM. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях ω_д (по сравнению с Ω) ширина спектра от ω_д не зависит.

Рис. 2.13. Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б)

при угловой модуляции с индексом m «1

При больших значениях m необходим более точный анализ. Учитывая, что множители cos (m sin Ω t) и sin (m sin Ω t) являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье. В разделе курса математики, посвященном функциям Бесселя, доказываются следующие соотношения:

cos (m sin Ω t) = J ₀(m) + 2 J ₂(m) cos 2Ω t + 2 J ₄(m) cos 4Ω t + …, (2.28)

sin (m sin Ω t) = 2 J ₁(m) sin Ω t + 2 J ₃(m) sin 3Ω t + 2 J ₅(m) sin 5Ω t + …, (2.29)

Здесь J _n(m) — бесселева функция n- го порядка от аргумента m.

С помощью соотношений (2.28) и (2.29) уравнение (2.27) можно привести к виду

u (t) = U _m [ J ₀(m) cos ω₀ t — 2 J ₁(m) sin Ω t sin ω₀ t + 2 J ₂(m) cos 2Ω t cos ω₀ t—

— 2 J ₃(m) sin 3Ω t sin ω₀ t + 2 J ₄(m) cos 4Ω t cos ω₀ t +... ] (2.30)

или в более развернутой форме

u (t) = U _m { J ₀(m) cos ω₀ t + J ₁(m)[cos (ω₀ + Ω) t — cos (ω₀ — Ω) t ] +

+ J ₂(m) [cos (ω₀ + 2Ω) t + cos (ω₀ — 2Ω) t ] +

+ J ₃(m) [cos (ω₀ + 3Ω) t— cos (ω₀ — 3Ω) t ] + …} (2.31)

Таким образом, при частотной и фазовой модуляциях спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных попарно симметрично относительно несущей частоты ω₀ и отличающихся от последней на n Ω, где n — любое целое число. Амплитуда n -й боковой составляющей U _n= J _n(m) U _m, где U _m—амплитуда немодулированного колебания, а m — индекс модуляции. Отсюда следует, что вклад различных боковых частот в суммарную мощность модулированного колебания определяется величиной m.

При значениях индексов m от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена 4Ω. Далее, при 1 <. m < 2 приходится учитывать третью и четвертую пары боковых частот и т. д. Спектральные диаграммы для m = 1 и m = 2 приведены на рис. 2.14. Фазы колебаний на этих рисунках не учитываются, однако следует иметь в виду, что при нечетных n амплитуды нижних боковых частот следует брать со знаком минус. Амплитуды всех составляющих спектра представлены на этих рисунках в виде вертикальных отрезков, длины которых равны J _n(m), а расстояния от отрезка J ₀(m), соответствующего амплитуде колебания несущей частоты, равны n Ω, где Ω — частота модуляции, а n — порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результирующего колебания принята за 100%, т. е. А ₀ = 1; обозначенные на рисунках величины J _n определяют амплитуды колебаний соответствующих частот в долях от амплитуды результирующего колебания.

Рис. 2.14. Спектры колебания при угловой модуляции:

а) m = 1; б) m = 2

Рассмотрим теперь большие значения m. Вопрос сводится к выяснению зависимости бесселевой функции J _n(m) от порядкового номера n при больших значениях аргумента m. Оказывается, что при m» 1 величина | J _n(m)| более или менее равномерна при всех целых значениях | n |, меньших, чем аргумент m. При | n |, близких к m, | J _n(m)| образует всплеск, а при дальнейшем увеличении | n | функция | J _n(m)| быстро убывает до нуля. Общий характер этой зависимости показан на рис. 2.15 для m = 100. Из рисунка видно, что наивысший номер n боковой частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу модуляции m (в данном случае n = 100).

Рис. 2.15. Ширина спектра ЧМ колебания при больших значениях

индекса модуляции

Приравнивая это максимальное значение n _max величине m, приходим к выводу, что полная ширина спектра частотно-модулированного колебания 2| n _max| Ω ≈ 2 m Ω.

Ho m = ω_д /Ω, следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной девиации частоты

2| n _max| Ω ≈ 2 ω_д. (2.34)

Эта полоса частот обозначена в нижней части рис. 2.15.

Заметим, что в соответствии с определением m [см. (2.24)] выражение «модуляция с малым индексом» эквивалентно выражению «быстрая модуляция», а выражение «модуляция с большим индексом» эквивалентно выражению «медленная модуляция». Поэтому можно сформулировать следующее положение: при быстрой угловой модуляции (когда ω_д «Ω) ширина спектра модулированного колебания близка к значению 2Ω; при медленной угловой модуляции (когда ω_д» Ω) ширина спектра близка к значению 2ω_д.