Спектр АМК

Пусть задано высокочастотное модулированное колебание, о котором известно, что частота ω₀ и начальная фаза φ₀ величины постоянные, а огибающая A (t) содержит в себе передаваемое сообщение s (t). Аналитически такое колебание можно представить с помощью выражения (2.4).

Требуется установить связь между спектром модулированного колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром исходного сообщения s (t). Проще и нагляднее всего это можно сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая

A (t) = A ₀ [1 + M cos (Ω t + ψ)],

а модулированное колебание определяется выражением (2.6).

Перепишем выражение (2.6) в форме

a (t) = A ₀ [cos (ω₀ t + φ₀) + M cos (Ω t + ψ)cos (ω₀ t + φ₀)].

Второе слагаемое в правой части этого выражения, являющееся продуктом модуляции, можно привести к виду

M cos (Ω t + ψ)cos (ω₀ t + φ₀)] =

= 0,5 M cos [(ω₀ + Ω) t + φ₀ + ψ] + 0,5 M cos [(ω₀ — Ω) t + φ₀ — ψ].

после чего развернутое выражение колебания a (t) принимает вид

a (t) = A ₀ cos (ω₀ t + φ₀) + 0,5 MA ₀ cos [(ω₀ + Ω) t + φ₀ + ψ] +

+ 0,5 MA ₀ cos [(ω₀ — Ω) t + φ₀ — ψ]. (2.8)

Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное немодулированное колебание с частотой ω₀. Второе и третье слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармоническим), появляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих колебаний (ω₀ + Ω) и (ω₀ — Ω) называются верхней и нижней боковыми частотами модуляции. Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют от амплитуды немодулированного колебания долю, равную М/2, а их фазы симметричны относительно фазы несущего колебания. Это иллюстрируется векторной диаграммой, представленной на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Векторное представление амплиудно-модулированного колебания

На этой диаграмме ось времени вращается по часовой стрелке с угловой частотой ω₀, причем отсчет угла ω₀ t ведется от линии OB. Поэтому несущее колебание A ₀ cos (ω₀ t + φ₀) изображается на этой диаграмме в виде неподвижного вектора OD длиной A ₀, составляющего с горизонталью угол φ₀. Мгновенное значение несущего колебания в момент t равно проекции вектора A ₀ на ось времени (отрезок OK).

Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой ω₀ + Ω, превышающей угловую частоту вращения оси времени на величину Ω необходимо воспользоваться вектором, вращающимся с угловой частотой Ω против часовой стрелки (вектор DC ₁). Для изображения колебания с частотой ω₀ — Ω потребуется вектор, вращающийся с такой же частотой Ω по часовой стрелке (вектор DC ₂). Поэтому колебания боковых частот — верхней и нижней — изображаются двумя векторами длиной MA ₀ / 2, вращающимися во взаимно противоположных направлениях. Начала этих векторов перенесены из точки О в точку D. Их фазы симметричны относительно вектора несущего колебания A ₀. Это следует из выражения (2.8), которое для большей наглядности целесообразно записать в несколько измененной форме

a (t) = A ₀ cos (ω₀ t + φ₀) + 0,5 MA ₀ cos [(ω₀ t + φ₀) + (Ω t + ψ)] +

+ 0,5 MA ₀ cos [(ω₀ t + φ₀) — (Ω t + ψ)].

Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе огибающей ψ векторы DC ₁ и DC ₂, соответствующие колебаниям верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное относительно вектора OD положение, причем векторы колебаний боковых частот образуют с вектором несущего колебания углы, равные ±(Ω t + ψ). Равнодействующий вектор DF, являющийся геометрической суммой векторов DC ₁ и DC ₂ и называемый вектором модуляции, всегда располагается на линии OD, вследствие чего сумму всех трех колебаний — несущей и двух боковых частот — можно рассматривать как колебание с постоянными начальной фазой и частотой, но с модулированной амплитудой.

Попутно заметим, что если в результате прохождения через электрические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний боковых частот или симметрия их фаз относительно фазы несущего колебания, то возникает качание вектора, представляющего результирующее колебание, относительно направления OD. Это равносильно возникновению паразитной ФМ.

Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при чисто амплитудной модуляции. Допустим, что начальная фаза высокочастотного колебания φ₀ = 90°. Тогда векторная диаграмма примет вид, показанный на рис. 2.5. Если при Ω t = 0 векторы боковых частот DC ₁ и DC ₂ направлены вверх (положение I на рис. 2.6), то огибающая амплитуд проходит в этот момент через свое максимальное значение A ₀(1 + M). Этот случай соответствует начальной фазе огибающей ψ = 0 [см. (2.6)], а уравнение огибающей будет

A (t) = A ₀ cos (1 + M cos Ω t)

Рис. 2.5. Векторная Рис. 2.6. Фазы колебаний боковых

диаграмма АМК при φ₀ = 0 частот в различные моменты времени

Если же в момент Ω t = 0 векторы DC ₁ и DC ₂ занимают горизонтальное положение, то огибающая проходит через значение, равное A ₀. В этом случае начальная фаза огибающей ψ = — π/2 и уравнение для огибающей будет

A (t) = A ₀ cos (1 + M sin Ω t).

Положение векторов боковых частот DC ₁ и DC ₂ при Ω t = π/2, π, и 3π/2 для ψ = 0 обозначено на рис. 2.6 соответственно цифрами II, III и IV.

Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции показана на рис. 2.7. Ширина спектра в этом случае равна удвоенной частоте модуляции 2Ω, а амплитуды колебаний боковых частот не могут превышать половины амплитуды немодулированного колебания (при M ≤ 1).

Аналогичные результаты можно получить при модуляции любым сложным сигналом. Картину образования спектра амплитудно-модулированного колебания проще всего пояснить сначала на примере, когда модулирующее сообщение s (t) является суммой колебаний двух тонов:

s (t) = S ₁ cos Ω₁ t + S ₂ cos Ω₂ t.

По аналогии с выражением (2.5) получаем

A (t) = A ₀ + Δ A ₁cos Ω₁ t + Δ A ₂cos Ω₂ t = A ₀ (1+ M ₁cos Ω₁ t + M ₂cos Ω₂ t).

Подставляя это выражение в уравнение (2.4) и используя тригонометрические преобразования, аналогичные тем, которые были проведены при получении уравнения (2.8), приходим к следующему результату (начальные фазы несущего и модулирующих колебаний здесь для упрощения опущены):

a (t) = A ₀cos ω₀ t + 0,5 M ₁ A ₀cos (ω₀ +Ω₁) t + 0,5 M ₁ A ₀cos (ω₀ — Ω₁) t +

+ 0,5 M ₂ A ₀cos (ω₀ +Ω₂) t + 0,5 M ₂ A ₀cos (ω₀ — Ω₂) t.

Из полученного выражения следует, что каждой из частот Ω₁ и Ω₂ соответствует своя тональная модуляция, сопровождающаяся возникновением пары боковых частот. Причем этот процесс является линейным в том смысле, что амплитуды и фазы колебаний боковых частот от различных модулирующих напряжений взаимно независимы (последнее свойство сохраняется при условии, что суммарное изменение огибающей «вниз» не превышает 100 %).

Из приведенного примера нетрудно вывести правило построения спектральной диаграммы амплитудно-модулированного колебания a (t) по заданному спектру модулирующей функции s (t). Пусть последний имеет вид, представленный на рис. 2.8, а. Через S ₁, S ₂, … S _n,... обозначены амплитуды гармонических колебаний, входящих в спектр сообщения s (t), а через Ω_min и Ω_max — граничные частоты спектра.

Спектральная диаграмма высокочастотного колебания, промодулированного по амплитуде сообщением s (t), изображена на рис. 2.8, б. Коэффициенты модуляции М ₁ М ₂,..:, М _n пропорциональны амплитудам S ₁, S ₂, …, S _n соответствующих тонов, входящих в сложное сообщение s (t).

Рис. 2.7. Спектр колебания при Рис. 2.8. Дискретные спектры

тональной (гармонической) AM а) сложной модулирующей функции;

б) модулированного по амплитуде

колебания