Умножение на число, сложение, умножение матриц

Определение 1. Матрицей размера m ´ n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

,	aij - элемент матрицы A, где: i -номер строки, j - номер столбца.

Определение 2. Две матрицы одного размера m ´ n называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. А = В Û a_ij = b_ij для любых i =1,2,..., m; j =1,2,..., n.

Определение 3. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой A=(a ₁₁, a ₁₂,..., a _1n) или A=(a ₁, a ₂,..., a _n).

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:

или .

Определение 4. Матрица называется квадратной матрицей n -го порядка, если число ее строк равно числу ее столбцов и равно n.

Определение 5. Элементы a_ij матрицы A, у которых номер строки i равен номеру столбца j, называются диагональными. Они образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы равны нулю.

Определение 6. Единичной матрицей n -го порядка называется диагональная матрица n -го порядка, у которой все диагональные элементы равны 1.

Определение 7. Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Определение 8. Матрица , которая получается из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице А.

Из определения следует, что если матрица A имеет размер m ´ n, то транспонированная матрица A' имеет размер n ´ m.

Определение 9. Произведением матрицы A на число l называется матрица B=lA, элементы которой b_ij = la_ij для любых i =1,2,..., m; j =1,2,..., n.

Определение 10. Суммой двух матриц A и B одного размера называется матрица C=A + B, элементы которой с_ij = a_ij + b_ij для любых i =1,2,..., m; j =1,2,..., n.

Определение 11. Если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B и равно k, то произведением матриц A и B называется матрица C=A × B, каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B, т.е. с_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j +...+ a_ikb_kj для любых i =1,2,..., m; j =1,2,..., n

Многие свойства операций над числами справедливы и для операций над матрицами (это проверяется по определению операций):

1) A+B=B+A;

2) (A+B)+C=A+(B+C);

3) l(A+B)=lA+lB;

4) A(BC)=(AB)C;

5) l(AB)=(lA)B=A(lB);

6) (A+B)C=AC+BC;

7) A(B+C)=AB+AC.

Однако для операций над матрицами справедливы не все свойства операций над числами. Например, AB ¹ BA для матриц и .