Евклидово пространство. Длина (норма) вектора

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов x = (x ₁, x ₂, … x _n) и y = (y ₁, y ₂, … y _n) n -мерного пространства называется число

(x, y) = x ₁× y ₁ + x ₂× y ₂ + … + x _n× y _n.

Определение 2. Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).

Определение 3. Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата

.

Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса