Условие существования ненулевых решений системы

Определение 1. Cистома m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю

Такая система всегда совместна, так как имеет нулевое решение. Выясним, когда система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения.

Если m = n, а главный определитель системы отличен от нуля, то, по теореме Крамера, система имеет единственное решение, т.е. нулевое решение.

Следовательно, верна теорема

Теорема 1. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы при переменных меньше числа переменных, т.е. r (A)< n.

Тема 3: Векторные пространства

Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).

Определение 2. Длиной вектора AB называется число ç AB ç, равное длине отрезка AB, изображающего вектор.

Определение 3. Произведением вектора a на число l называется вектор b = l × a, имеющий длину ç b ç= l ×ç a ç, направление которого совпадает с направлением вектора a, если l >0, и противоположно ему, если l <0.

Определение 4. Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец - с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a. Вектор c в этом случае представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b (правило параллелограмма).

Разностью двух векторов a и b называется сумма вектора a и вектора (-1)× b.

Определение 5. Векторы, лежащие на одной прямой (или на параллельных прямых) называются коллинеарными, векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Определение 6. Координатами вектора a называются координаты его конечной точки, если так переместить вектор параллельно самому себе, чтобы его начало совпало с началом координат.

На плоскости Oxy вектор имеет две координаты: a (x ₁, y ₁) и b (x ₂, y ₂).

В пространстве Oxyz вектор имеет три координаты: a (x ₁, y ₁, z ₁) и b (x ₂, y ₂, z ₂).

Линейные операции в координатной форме:

1) произведение вектора a =(x, y, z) на число l, есть вектор b =(l x, l y, l z);

2) суммой и разностью векторов a (x ₁, y ₁, z ₁) и b (x ₂, y ₂, z ₂) являются соответственно векторы c = a + b =(x ₁+ x ₂, y ₁+ y ₂, z ₁+ z ₂) и d = a - b =(x ₁- x ₂, y ₁- y ₂, z ₁- z ₂);

Длина вектора a (x, y, z) вычисляется по формуле ç a ç = .