 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Критерий согласия Пирсона
|
|
Критерий Пирсона применяется, если объем выборки 
, а интервалы содержат более 5 вариант.
Рассмотрим случайную величину
,
где 
– эмпирическая частота, 
– теоретическая частота, которая равна 
, где 
– вероятность попадания случайной величины в 
–й интервал сгруппированного статистического ряда. Тогда
.
Если рассматривать различные выборки, то случайная величина 
принимает различные значения. Чем меньше различаются и , тем меньше 
, следовательно, величина 
в известной степени характеризует близость теоретического и эмпирического распределения.
Заметим, что возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей, а делением на достигают уменьшения каждого из слагаемых.
Доказано, что при 
распределение С.В. стремится к закону распределения с 
степенями свободы, где 
. Здесь 
– число интервалов, 
– число параметров распределения (для нормального распределения 
, для распределения Пуассона 
). Плотность распределения равна
. где 
По такому закону распределена сумма квадратов случайных величин, каждая из которых распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией равной единице 
.
Множество всех значений критерия 
разбивают на 2 непересекающихся множества 
и 
, при этом – критическая область –содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а – область принятия гипотезы –содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза принимается. Эти области разделяются критической точкой 
. Гипотеза принимается, если 
, и гипотеза отвергается, если 
.
Вероятность ошибки первого рода, т.е. 
, называют уровнем значимости критерия . Если 
— вероятность ошибки второго рода, то величину 
= 
называют мощностью критерия .
Если проверяемая гипотеза 
верна, то 
. Если известен закон распределения критерия, то точка находится из условия 
, где 
– заданный уровень значимости, т.е. для нахождения критической точки задаются уровнем значимости и требуют, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий 
примет значение большее была равна . 
.
Существуют подробные таблицы вероятности 
при заданном . При практическом использовании критерия по заданному уровню значимости и числу степеней свободы из таблицы находят 
и сравнивают это значение с 
. Если 
, то нулевую гипотезу принимают, если же 
, то нулевую гипотезу отвергают.
Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по другим причинам, например, вследствие малого объема выборки. В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода.
Иногда область принятия гипотезы о законе распределения ограничивают с двух сторон 
, где 
находят из условия 
. Тогда гипотеза о виде распределения случайной величины 
принимается при 
.
Критерий Пирсона применяется для проверки правдоподобия гипотез любых законов распределения. С помощью критерия Пирсона нельзя доказать, что рассматриваемая гипотеза действительно справедлива, критерий указывает лишь на то, что гипотеза не противоречит опытным данным.
Схема применения критерия для проверки гипотезы 
:
1. Для заданной выборки строят вариационный ряд– группированный статистический ряд.
2. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот по формуле 
.
3. Для уровня значимости по таблице распределения находят критическое значение 
, где – число степеней свободы (
– число интервалов, – число параметров распределения случайной величины).
4. По той же таблице находят 
.
5. Если 
или 
, то нулевая гипотеза отвергается. Если же 
, то считают, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным.
Критерий Пирсона дает удовлетворительные результаты, если объем выборки велик (
и частоты (эмпирические и теоретические) имеют значения не меньше, чем 5. Если для некоторых из интервалов 
, то следует объединить соседние интервалы. Отметим, что в двух крайних интервалах допускается значение .
Критерий согласия Колмогорова или критерий 
В качестве меры расхождения теоретического и экспериментального распределений в критерии Колмогорова рассматривается величина 
, где
– накопленные теоретические частоты,
– накопленные экспериментальные частоты,
Т–объем выборки.
Колмогоров нашел, что при
Существуют подробные таблицы 
, из которых по заданному определяют 
.
Если 
, то нулевую гипотезу принимают.
Если 
, то нулевую гипотезу отвергают.
Критерий Колмогорова часто дает несколько завышенные оценки правдоподобности гипотезы. В некоторых случаях можно принять за правдоподобную гипотезу, плохо согласующуюся с опытными данными.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 651 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
