Правила построения выражений в логике предикатов

Следующий этап в построении формализованного языка - задание правил построения его выражений из символов алфавита. В ЯЛП имеются два типа правильно построенных выражений - это термы и формулы.

Результатом символической записи как простых, так и сложных выражений естественного языка являются термы, а результатом записи высказывания - формулы.

Определение терма:

Произвольная предметная константа является термом.

Произвольная переменная константа является термом.

Если Ф - n-местная предметно-функциональная константа,

а t1, t2, t3,... tn - термы, то выражение Ф(t1, t2, t3,... tn) - является термом.

Ничто иное термом не является.

Например, символы а, в1, с3 - термы (согласно пункту 1) и символы x2, z10, y - термы (согласно п.2), а символы f1, P2 и " - не термы, т. к. не относятся ни к числу предметных констант или предметных переменных, ни к числу выражений вида Ф(t1, t2, t3,... tn).

Попробуем перевести на язык логики предикатов имена естественного языка:

· Пусть простому имени “4” соответствует предметная константа a,

· а простому имени “5” - b,

· одноместному предметному функтору “Ö“ сопоставим одноместную предметную функциональную константу f1 (или просто f),

· а двухместному функтору “+“ - двухместную предметно- функциональную константу g2 (или просто g)

Тогда при переводе на ЯЛП сложным именам будут соответствовать следующие термы:

имени “Ö4” - терм f(a);

имени “4+5” - терм g(a, b);

имени “5+4” - терм g(b, a);

имени “Ö4+5” - терм g (f(a),b);

имени “Ö4+5” - терм f (g (a,b));

имени “(4+4) + (5+5)” - терм g(g (a,a), g(b,b).

Давайте разберем еще один пример:

Пусть имени Москва соответствует константа a, имени Киев - константа b, имени Россия - c, имени Украина - d, столица обозначим f, а “расстояние от … до …” - обозначим g. Тогда, при переводе на язык логики высказываний сложным именам будут соответствовать следующие термы:

Столица России – f (c)

Расстояние от Москвы до Киева – g (a,b)

Расстояние от Москвы до столицы Украины – g (a, f(d))

Расстояние от столицы России до Киева – g (f(c), b).

Дадим определение формулы:

1. Если П – n-местная предикаторная константа, а t1, t2, t3 …, tn – термы,

то выражение П (t1, t2, t3 …, tn) – является формулой.

2. Если А – формула, то ùА – тоже формула.

3. Если А и В – формулы, то (А&В), (АÚВ), (АÉВ), - формулы.

4. Если А – формула, а а – предметная переменная, то "аА и $аА – формулы.

5. Ничто иное формулой не является.

Каким образом осуществляется перевод высказываний естественного языка на язык логики предикатов? Начнем с высказываний, которые не содержат утверждений об отдельных предметах и в состав которых не входят кванторные слова.

Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойства отдельного предмета, записываются в ЯЛП посредством формулы вида П1(t), где t – терм, соответствующий имени предмета, а П1 – одноместная предикаторная константа, соответствующая знаку свойства.

Например, переводом высказывания на ЯЛП выражений:

1. Ромео - юноша может быть формула Р(а),

где предметная константа а – соответствует имени “Ромео”,

а одноместная предикаторная константа Р –

знаку свойства – “юноша”;

2. Отец Ромео – храбр – Q (f (a)),

где а – Ромео, f - отец, а знаку свойства “храбрый” соответствует

одноместная предикаторная константа – Q

3. Отрицание наличия свойства у отдельных предметов переводится

на ЯЛП посредством формул видаù П1 (t).

Например, Отец Ромео не является юношей - ù Р (f (a)).

4. Наличие отношения между двумя предметами записывается в виде

формул вида П2 (t1,t2). Например, выражение

Ромео любит Джульетту - R (a, b),

Джульетта любит своего отца - R (b, f (b))

5. Высказывание о наличии отношения между n предметами записывается в виде формулы Пn (t1, t2, … tn), где Пn – n-местная предикаторная константа, которая соответствует предикатору n-местного отношения.

Джульетта любит Ромео больше, чем своего отца – R1 (b, a, f(b)), где R1 – трехместная предметная константа, которая соответствует трехместному отношению любит больше, чем.

6. Запись высказывания, содержащего кванторы, в ЯЛП происходит с помощью формул вида $а А (а), где а – предметная переменная.

Кто-то является храбрым - $x Q (x),

Кто-то любит Джульетту - $x R (x, b),

Джульетта любит кого-то - $x R (b, x),

Кто-то не любит самого себя - $x ùR (x, x)

7. Простые высказывания могут содержать несколько кванторов:

Каждый любит кого-нибудь - "x $y R (x, y),

Кто-то кого-то не любит - $x $y ùR (x, y)

Контрольные вопросы

1. Имена. Их виды.

2. Функторы. Их роль в языке.

3. Что такое предикаторы?

4. Из чего состоит язык логики предикатов?