Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку М₀ на прямой и вектор S параллельный этой прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой. Прямая линия L задана её точкой М₀(х₀;у₀;z₀) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямйо L произвольную точку М(х;у;z), обозначим радиус-векторы точек М₀ и М, соответственно через r₀ и r. Очевидно, что вектора r₀, r и М₀М связаны соотношением:

r = r₀ + М₀М (8)

z

M₁ S

M₂

r

r₀

y

x

Вектор М₀М, лежащий на прямой L параллельно направляющему вектору S, поэтому

М₀М = tS, где t – скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения, в зависимости от положения точки М на прямой. Уравнение (8) можно записать в виде:

r = r₀ + tS (9)

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.

Замечая что r = (x;y;z); r₀ = (x₀;y₀;z₀); tS = (t_m; t_n; t_p) уравнение (9) можно записать в виде:

x_i + y_j + zk = (x₀ + t_m)i + (y₀ + t_n)j + (z₀ + t_p)k. Следовательно следует равенство:

х = x₀ + t_m

y = y₀ + t_n (10)

z = z₀ + t_p

Уравнение (10) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.