Нормальное уравнение прямой

у

P

Пусть прямая определяется заданием Р и α. Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв за полюс 0 и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде: rcos(α - φ) – P = 0; rcosαcosφ±sinαsinφ – P=0

Но в силу формул прямоугольные полярные координаты:

Следовательно, уравнение (8) прямой в прямоугольной системе координат примет вид:

хcosα + ysinα – P = 0 (9)

Уравнение (9) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем как привести уравнение Ах + Ву + С = 0 к виду уравнения (9):

Умножим все члены уравнения на некоторый множитель λ≠0:

λАх + λВу + λС = 0 – это уравнение должно обратиться в уравнение (9). Должны выполнятся равенства: λА = cosα; λВ = sinα; λС = Р. Из первых двух равенств находим:

Множитель λ называется нормирующим множителем, согласно λС = Р знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

Пример: привести уравнение -3х+4у+15=0 к нормальному виду.

Решение: Находим нормирующий множитель:

Умножаем данное уравнение на λ, получим искомое нормальное уравнение прямой: