Средняя арифметическая, ее свойства и вычисление

Средняя арифметическая используется в двух формах:

– в форме простой:

(1)

– в форме средней арифметической взвешенной:

(2)

Формула 1 применяется тогда, когда все частоты равны 1 или равны между собой. Во всех остальных случаях применяется формула 2.

Свойства средней арифметической:

1. Произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведения вариант на частоты:

.

2. Если к каждой варианте прибавить (или отнять) какое-либо постоянное число, то средняя увеличится (или уменьшится) на такое же число:

3. Если каждую варианту разделить (умножить) на какое-либо число А ≠0, то средняя уменьшится (увеличится) во столько же раз:

4. Если частоты разделить или умножить на какое-либо не равное 0 число, то средняя не изменится.

Учитывая это свойство средней арифметической, в формулу (5.2) для вычисления средней можно подставить вместо частот частости.

5. Сумма отклонений вариант от их средней арифметической равна 0:

Пример 1 Вычисление средней в дискретном ряду

Имеются следующие данные:

Стаж, лет, Х	Число рабочих, чел., f	X·f
ИТОГО

Вычислить средний стаж данной группы рабочих

Пример 2 Вычисление средней в интервальном ряду

Чтобы вычислить среднюю арифметическую в интервальном ряду, нужно перейти от интервального ряда к дискретному, приняв в качестве вариант середину интервала, т.е. полусумму верхней и нижней границы интервала. Если ряд имеет открытые интервалы, то недостающие границы следует определить условно. При этом принято считать, что первый интервал имеет такую же длину, как последующий, а последний – как предыдущий.

Пусть имеются следующие данные:

Группы рабочих по размеру месячной оплаты труда, тыс.р.	Число рабочих, чел., f	X	X·f
До 120
120-130
130-140
140-150
150-160
160-170
170-180
свыше 180
Итого:

Найти среднюю заработную плату.

Дан интервальный вариационный ряд, нужно перейти от интервального к дискретному. Так как первый интервал открытый, то считаем, что он такой же по величине, как последующий, т.е. его длина равна: 130 – 120 = 10. Тогда недостающая граница равна: 120 – 10 = 110.

Для первого интервала середина будет равна .

Для второго интервала: и т.д.

Для исчисления средней воспользуемся формулой (5.2):