КРАСНОДАР – 2009

Задания предназначены для закрепления теоретических знаний, полученных на лекциях, при самостоятельном изучении учебников и учебных пособий студентами экономических специальностей.

Содержание и тематика заданий соответствует действующей программе по теории вероятностей и математической статистике.

Отдельные задачи носят условный характер, значительная часть составлена по реальным данным организаций Краснодарского края. По каждой теме предусмотрено решение студентами индивидуальных заданий с последующей их сдачей преподавателю.

Задания разработаны профессорами Бондаренко П.С., Кацко И.А., ст. преподавателями Гумбаровой Л.А., Стеганцовой Е.Д., Чернобыльской Т.Ю.

Задания рассмотрены и рекомендованы к печати кафедрой статистики и прикладной математики КубГАУ (протокол № 12 от 21 июня 2009 г) и методической комиссией учетно-финансового факультета (протокол № 11 от 25 июня 2009 г)

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 12-е, перераб. – М.: Высшая школа, 2006. – 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие.- 10-е изд. – М.: Высшая школа, 2006. 405с.

3. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 480 с.

4. Колемаев В.А., Калинина В.И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ИНФРА – М, 1997-302 с.

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. М.: ЮНИТИ –ДАНА, 2004.-573 с.

6. Теория статистики с основами теории вероятностей. /И.И. Елисеева, В.С. Князевский, Л.И. Новорожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И.Елисеевой. – М.: ЮНИТИ –ДАНА, 2001. – 446 с.

7. Фадеева Л.Н., Жуков Ю.В., Лебедев А.В. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения. – М.: ЭКСМО, 2007. – 336 с.

СОДЕРЖАНИЕ

		с.
	Случайные события………………………………………………….
	Основные теоремы и их следствия………………………………….
	Повторные независимые испытания………………………………..
	Дискретные случайные величины…………………………………..
	Непрерывные случайные величины………………………………...
	Законы распределения случайных величин………………………...
	Функции случайных величин………………………………………..
	Закон больших чисел………………………………………………...
	Многомерные случайные величины……………………………….
	Цепи Маркова………………………………………………………...
	Вариационные ряды ……………….………………………………...
	Выборочный метод…………………………………………………..
	Проверка статистических гипотез…………………………………..
	Дисперсионный анализ………………………………………………
	Корреляционно-регрессионный анализ…………………………….
	Анализ временных рядов…………………………………………….
	Ответы ………………………………………………………………..
	Приложения ………………………………………………………….
	Рекомендуемая литература ………………………………………….

1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Событие есть возможный результат опыта или испытания.

Достоверным называется событие U, которое в данном опыте обязательно произойдет.

Невозможным называется событие V, которое в данном опыте не может произойти.

Случайным называется событие А, которое в данном опыте или испытании может произойти, а может и не произойти.

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других в данном опыте. Если два события не могут появиться в одном опыте, то они называются несовместными.

Несколько событий называются попарно-несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе в данном опыте.

Совокупность несовместных и единственно возможных событий образуют полную группу событий.

События являются равновозможными, если имеются основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Вероятность события А обозначается Р(А) и находится по формуле:

, (1.1)

где - общее число элементарных исходов (событий) в опыте или испытании;

- число элементарных исходов (событий), благоприятствующих появлению события А.

(1.2)

где U – достоверное событие; V – невозможное событие; A – случайное событие.

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей,

. (1.3)

При определении вероятностей событий часто используются формулы комбинаторики, позволяющие подсчитать число различных способов выбора элементов из элементного множества по схеме без возвращений и с возвращениями:

- число размещений из элементов по элементов без возвращений

; (1.4)

- число перестановок из элементов

; (1.5)

- число сочетаний из элементов по k элементов без возвращений

. (1.6)

.

Различные размещения отличаются друг от друга или порядком или составом. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом. Перестановки отличаются порядком своих элементов.

Число перестановок, размещений и сочетаний с возвращениями определяется по формулам:

; n₁ + n₂ + … + n_m = n; ; (1.7)

Относительной частотой или статистической вероятностью события А называется число исходов, в которых появилось событие А к общему числу проведенных исходов.

. (1.8)

Если число элементарных исходов бесконечно, то используют геометрическое определение вероятности.

Вероятность попадания точки в область , брошенной в область равна отношению меры ()области к мере области .

. (1.9)

1 Являются ли несовместными следующие события:

а) Опыт - бросание двух монет; события:

А₁ – появление двух гербов; А₂ – появление двух цифр.

б) Опыт – три выстрела по мишени; события:

В₁ – хотя бы одно попадание; В₂ – хотя бы один промах.

в) Опыт – бросание двух игральных костей; события:

С₁ – хотя бы на одной кости появилось три очка;

С₂ – появление четного числа очков на каждой кости.

г) Опыт – извлечение двух шаров из урны, содержащей белые и

черные шары; события:

Д₁ – взято два белых шара; Д₂ – оба извлеченных шара одного цвета.

д) Опыт – студент сдает три экзамена, события:

Е₁ – студент сдает хотя бы один экзамен;

Е₂ – студен не сдает хотя бы один экзамен;

е) Опыт – лифт отправляется с 10 пассажирами и останавливается

на пяти этажах; события:

F₁ – на первых четырех остановках вышло не более 9 человек;

F₂ – на последней остановке вышел хотя бы один человек.

2 Образуют ли полную группу следующие события:

а) Опыт – два выстрела по мишени; события:

А₁ – два попадания в мишень; А₂ – хотя бы один промах по мишени.

б) Опыт – бросание двух игральных костей; события:

В₁ – сумма очков на верхних гранях больше 3;

В₂ – сумма очков на верхних гранях равна 3.

в) Опыт – посажено четыре зерна; события:

С₁ – взошло одно зерно; С₂ – взошло два зерна;

С₃ – взошло три зерна; С₄ – взошло четыре зерна.

г) Покупатель посещает три магазина; события:

Д₁ – покупатель купит товар хотя бы в одном магазине;

Д₂ – покупатель не купит товар ни в одном магазине.

д) Опыт – студент сдает три экзамена; события:

Е₁ – студент сдаст хотя бы один экзамен;

Е₂ – студент не сдаст хотя бы один экзамен.

3 Являются ли равновозможными следующие события:

а) Опыт – выстрел по мишени; события:

А₁ – попадание при выстреле; А₂ – промах при выстреле.

б) Опыт – бросание двух игральных костей; события:

В₁ – произведение очков на верхних гранях равно 12;

В₂ – сумма очков на верхних гранях равна 9.

в) Бросание двух монет; события:

С₁ – появление двух гербов; С₂ – появление двух цифр;

С₃ – появление одного герба и одной цифры.

г) Опыт – извлечение двух карт из колоды; события:

Д₁ – обе карты одинаковой масти;

Д₂ – обе карты разных мастей.

4 Брошены 3 монеты.

Составить события, образующие полную группу.

Сколько равновозможных исходов образует полную группу событий?

Укажите события единственно – возможные, не образующие полной группы событий?

5 Приведите примеры:

а) трех событий, образующих полную группу событий;

б) трех событий, равновозможных и несовместных, но не образующих полной группы событий;

в) двух событий, несовместных и образующих полную группу событий, но не равновозможных.

6 Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на ее верхней грани появится: а) шесть очков; б) нечетное количество очков; в) не менее четырех очков; г) не более двух очков; д) более трех очков.

7 Набирая номер телефона, абонент забыл две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

8 Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что:

а) на обеих костях появится одинаковое число очков;

б) хотя бы на одной кости появится два очка;

в) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение шести очкам;

г) сумма очков, выпавших на обеих костях, не превзойдет 5.

9 Из 10150 человек, проживающих в населенном пункте, 71 человек имеет возраст свыше 80 лет. Определить статистическую вероятность появления лиц с возрастом свыше 80 лет. Какой процент лиц, имеет возраст до 80 лет?

10 Относительная частота (частость) работников предприятия, имеющих высшее образование, равна 0.15. Определить: а) число работников, имеющих высшее образование, если всего на предприятии работает 40 человек; б) число работников предприятия, если с высшим образованием работает 30 человек.

11 Имеются две урны. В первой – 10 красных и 6 черных шаров. Во второй – 4 красных и 6 черных шаров. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что: а) оба шара будут красными; б) из первой урны будет вынут красный шар, а из второй – черный; в) хотя бы один из вынутых шаров черный.

12 Из коробки, содержащей 5 пронумерованных жетонов, вынимают один за другим все находящиеся в ней жетоны и укладывают рядом. Найти вероятность того, что номера вынутых жетонов будут идти по порядку 1, 2, 3, 4, 5.

13 Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «книга».

14 В колоде 36 карт четырех мастей. После извлечения и возвращения одной карты, колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти.

15 На отдельных одинаковых карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все девять карточек перемешивают, после чего наугад берут четыре карточки и раскладывают в ряд в порядке появления. Какова вероятность получить при этом: а) четное число; б) число 1234; в) 6789?

16 Какова вероятность, что на трех карточках, вынутых по одной и положенных в порядке их появления, получим число 325, если всего карточек было шесть с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6?

17 Восемь различных книг расставляются наугад на полке. Найти вероятность того, что: а) три определенные книги окажутся поставленными рядом; б) две определенные книги окажутся поставленными рядом.

18 Среди изготовленных 15 деталей имеется 5 нестандартных. Определить вероятность того, что взятые наугад три детали окажутся стандартными.

19 В партии готовой продукции из 10 изделий имеется 7 изделий повышенного качества. Наудачу отбираются шесть изделий. Какова вероятность того, что четыре из них будут повышенного качества?

20 Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику в Лабинск, если предоставлено 6 мест в г. Лабинск, 10 – в г. Анапу и 4 – в г. Тимашевск?

21 Из 25 студентов группы, 12 занимаются научной работой на кафедре бухгалтерского учета, 7 - экономического анализа, остальные – на кафедре статистики. Какова вероятность того, что два случайно отобранных студента занимаются научной работой на кафедре статистики?

22 Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут: а) две женщины и один мужчина; б) все женщины.

23 Среди 20 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрываются 5 билетов в театр. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся три девушки или две девушки.

24 Определить вероятность того, что участник лотереи «Спортлото – 5 из 36» угадает правильно: а) все 5 номеров; б) 3 номера.

25 Цифровой замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, отмеченных цифрами. Замок открывается в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Какова вероятность того, что замок откроется, если установить произвольную комбинацию цифр?

26 Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включается случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

27 В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

28 В квадрат с длиной стороны «а» вписан круг. Наудачу в квадрат бросается точка. Найти вероятность того, что точка попадает в круг.

29 В прямоугольник с вершинами А (1;1), В (1;3), С (4;3), Д (4;1) наудачу брошена точка К (х;у). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству .

30 В прямоугольник с вершинами А (0;0), В (0;5), С (6;5), Д (6;0) наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют системе неравенств