Линейная модель многоотраслевой экономики

В. Леонтьевым, на основании анализа экономики США в период перед Второй Мировой Войной, был установлен важный факт: в течение длительного времени величины меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа.

В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции -й отрасли объема нужно использовать продукцию -й отрасли объема , где - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности,

; (24)

Тогда уравнение (24) можно переписать в виде системы уравнений:

(25)

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

(26)

Тогда система уравнений (25) в матричной форме имеет вид

(27)

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (26) это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления .

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Необходимо решить систему линейных уравнений (27) с неизвестной матрицей и заданным вектором . Также система (27) имеет особенности, вытекающие из прикладного характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными.