Рыночная модель с запасами

В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением и спросом . Примем следующие допущения.

1. Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены :

. (14)

2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом (при наличиИ запаса цена на товар в последующий период падает):

. (15)

Подстановка соотношений (14) в (15) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены :

или

. (16)

Пусть , тогда , следовательно . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (16) удобно искать в виде постоянной величины:

.

Величина является равновесной ценой, или стационарным решением уравнения (16) Общее решение уравнения (10) определяется формулой

.

Пусть - значение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид

или . (17)

Сходимость во времени к значению существенно зависит от величины и знака основания степени в (17) . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи:

1) , откуда - монотонная сходимость к равновесному значению ;

2) , откуда , т.е. ;

3) , откуда - сходимость цены к равновесному значению с колебаниями около него;

4) , т.е. - две точки равновесия: и , на каждом шаге по времени цена «перескакивает» с одного значения на другое;

5) , т.е. - цена расходится с увеличением амплитуды колебаний.

а

б

в

г

д

0 1 2 3 4

Рис.2