ЛЕКЦИЯ 15. Идентификация нелинейных динамических объектов

1. Применение гармонической линеаризации при идентификации объектов.

2. Использование метода статистической линеаризации для идентификации нелинейных объектов

3. Идентификация нелинейных объектов с использованием функциональных степенных рядов

1. В инженерной практике боль­шое применение находят приближенные ме­тоды, основанные на замене действительных зависимости между входной и выходной переменными приближенными линейными. При этом линеаризацию необходимо производить так, чтобы учесть хотя бы приближенно нелинейные свойства звеньев, т.е. чтобы для линеаризованных элементов не выполняется принцип суперпозиции.

Линеаризация нелинейных характеристик путем разложения в ряд состоит в замене характеристики у = f(x) приближенной ли­нейной зависимостью, определяемой двумя первыми членами разложения характеристики в ряд Тейлора. Пусть характеристика у = f(x) дифференцируема и входной сигнал х (f) мало отличается от некоторого среднего значения х₀, тогда зависимость у = f(x) можно заменить приближенной

у = f(x₀) + f ' (х-₀) (х - х₀). (2.131)

Замена нелинейной зависимости у =f(x) линейной геометрически представляет собой замену кривой у= f(x), касательной к ней в точке х₀.

Действующие внешние возмуще­ния можно представить как стационарные случайные функции х (г) с математическим ожиданием т_х и центрированной случайной составляющей л(г):

x(t)^m_x + x(t). (2.132)

В этом случае практически линеаризацию нелинейной характеристики целесообразно производить относительно центрированного входного случайного сигнала x(t), т.е. за центр разложения.х₀ в (2.131) взять матема­тическое ожидание т_х входного сигнала х(1). В результате получается

у (г) *./>У +./ ' (т_х) х (г). (2.13.3)

Таким образом, приближенная зависи­мость (2.133) линейна только относительно случайной составляющей x(t) входного сиг­нала и нелинейно относительно математиче­ского ожидания т_х, поэтому принцип супер­позиции здесь неприменим.

Гармоническая линеаризация. В целом ряде практических задач приходится рассмат­ривать воздействие на линейное звено гармо­нических колебаний

X(t)= A sin ωt = A sin ψ, ψ=ωt.

Выходной сигнал нелинейного звена так­же будем периодическим, но не гармони­ческим.

Идея гармонической линеаризации со­стоит в том, что выходные периодические колебания у(t) разлагают в ряд Фурье и для дальнейших исследований ограничи­ваются рассмотрением лишь первых гармоник этого ряда. В этом случае нелинейная зависимость у= у(t)=f(Asinψ) заменяется приближенной

Y(t)=a₀+asin ωt+bcosωt=a₀+ q₁x+q₂x/ω,

где

Статистическая линеаризация. Метод при­ближенной замены нелинейной характеристи­ки эквивалентными в вероятностном смысле линейными зависимостями называется мето­дом статистической линеаризации. В резуль­тате такой линеаризации нелинейная зависи­мость у=f(t) заменяется приближенной

y(t)=k_am_x + k,x⁰(t).

где m_x = const — математическое ожидание стационарного случайного сигнала на входе нелинейного элемента; x⁰(t) — центрированная случайная составляющая входного сигнала х (t).

Предполагается, что выходной стацио­нарный случайный сигнал может быть пред­ставлен в виде

у(t) = т_у. + у^/(t)

где т_у — математическое ожидание у(t); y^/(t) -центрированная случайная составляющая y(t). Коэффициент

к₀ = т_у/т_х

называется статистическим коэффициентом усиления нелинейного звена по математи­ческому ожиданию. Коэффициент

k₁=±σ_y/ σ _x.

3. Идентификация нелинейных объектов с использованием функциональных степенных рядов

Производная функции определяется разностным отношением:

.

Если существует предел и не зависит от того, как стремится к нулю, то функция является аналитической. Следовательно в окрестности некоторой точки а можно ее разложить в ряд Тейлора:

Если а=0, то получаем ряд Маклорена:

Учитывая, что последующие слагаемые выше второго достаточно малые величины, можно заменить функцию линейной частью разложения.

Л.1 стр.192-199, Л.2,стр. 107-110

Контрольные вопросы

1. Гармоническая линеаризация.

2. Статическая линеаризация.

3. Использование функциональных рядов.