ЛЕКЦИЯ 9. Критерий идентификации

1. Критерий идентификации.

2. Функционал невязки.

Критерии адекватности моделей. Математическая модель объекта является лишь его определенным в рамках принятых допущений аналогом. Поэтому значения переменньгх, получаемые на модели и объекте, различаются. Здесь возникает задача установления близости модели реальному объекту (установления адекватности модели). Прежде чем приступить к проверке и установлению адекватности, необходимо выработать критерий, который позволил бы сделать заключение о соответствии модели и объекта. Они базируются в основном на методах дисперсионного анализа и анализа остатков.

Дисперсионный анализ моделей используется для сравнения величин остятков с величинами характеризуюшими ошибку измерений. Используя такое сравненне, исследователь способен установить как общую адекватность модели, так и способы ее дальнейшего упрощения с помощью выбрасывания из модели незначимых членов. Для этого вычисляют величины сумм квадратов, характеризующие соответственно разброс экспериментальных данных и разброс рассчитанных по модели значений отклика. Разности называемые остатками, представляют собой меру неспособности модели точно описать экспериментальные данные. Очевидно, что если испытывая модель истинна, то остатки фактически есть оценки экспериментальной ошибки измерений.

На основании метода наименьших квадратов можно показать, что для перечисленных сумм справедливо следующее равенство:

SS (1) = SS (2) + SS (3).

При проведении дисперсионного анализа каждому отдельному изме-рению отклика приписывается одна степень свободы. Следовательно, при постановке п опытов для однооткликовой ситуации (ситуации с одной за-меряемой выходной переменной) общая сумма квадратов SS(1) обладает п степенями свободы; SS(3) имеет (п - р) и SS(2) имеет р степенеи сво-боды (р — число параметров в модели, с использованием оценок кото-рых вычисляется сумма SS (2)).

При проведении повторных измерений в одинаковых условиях экспе-

римента сумма квадратов, содержит всю необходимую информацию об ошибках измерений.

Если проведено п повторных опытов при каждом из ц различных условий проведения эксперимента, то сумма квадратов имеет п - 1 степеней свободы в одном повторном эксперименте (одна степень свободы используется для оценки), в то время как сумма квадратов обла-дает п- р-q(п— 1) степенями свободы: поедеднее число определяется как разность между числом степеней свободы остаточной суммы квадратов.

Суммы квадратов, обусловленные различными источниками, будучи поделенными на соответствующие числа степеней свободы, определяют соответствующие дисперсии. Очевидно, что адекватность модели может определяться отношением дисперсии адекватности модели к дисперсии воспроизводимости. Если это отношение велико (по крайней мере существенно больше единицы), то имеются достаточно веские доводы в пользу того, что испытываемая модель не отражает результаты эксперимента,

Если модель правильно отражает свойства объекга, то расхождения между экслериментальными значениями и соответствующими значениями, вычислениыми по модели, можно рассматривать как случайные величины. Тогда установление адекватности можно проводить с помощыо проверки некоторых статистических гипотез. Под статистическими гипотезами понимают некоторые предположения относительно распределений генеральной совокупности случайной величины. Проверка гипотезы заключается в сопоставлении статистических показателей, критериев проверки, вычисляемых по выборке, со значениями этих показателей, определенными в предположении, что проверяемая гипотеза верна. Чтобы принять или отвергнуть гипотезу, задают уровень значимости р (обычно от 0,1 до 5 %), который определяет вероятность того, что верная гипотеза будет отвергнута на основании анализа выборки.

Оценка адекватности однооткликовых моделей с помощью критерия Фишера. В случае однооткликовых моделей адекватность может быть проверена с помощью критерия Фишера (Ғ -критерия).

Основная гипотеза, которая при этом проверяется, состоит в следую-щем: можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии? Если да, то дисперсии незначимо отличаются друг от друга. Рассчитанные по модели значения удовлет-ворительно совпадают с экспериментальными и модель адекватна объек-ту в пределах точности эксперимента. В противном случае модель неадекватна обьекту.

Л.1 стр.166-174, Л.2,стр. 81-88

Контрольные вопросы

1. Критерий идентификации

2. Функционал невязки

3. Минимизация функционала невязки