Интеграл свертки. Определение корреляционных функций сигналов

Рассмотрим некоторые осо­бенности статистических методов, используемых для обработки результатов моделирования системы S. Для случая исследования сложных систем при большом числе реализации N в результате моделирования на ЭВМ получается значительный объем инфор­мации о состояниях процесса функционирования системы. Поэтому необходимо так организовать в процессе вычислений фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки для искомых характеристик формировались постепенно по ходу модели­рования, т. е. без специального запоминания всей информации о состояниях процесса функционирования системы S.

Если при моделировании процесса функционирования конкрет­ной системы S учитываются случайные факторы, то и среди резуль­татов моделирования присутствуют случайные величины. В качест­ве оценок для искомых характеристик рассчитывают средние значе­ния, дисперсии, корреляционные моменты и т. д.

Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность некоторого события А. В качестве оценки для искомой вероятности р=Р(А) используется частность наступления события m/N, где т — число случаев наступления события А; N — число реализации. Такая оценка вероятности появления события А является состо­ятельной, несмещенной и эффективной. В случае необходимости получения оценки вероятности в памяти ЭВМ при обработке ре­зультатов моделирования достаточно накапливать лишь число т (при условии, что N задано заранее).

Аналогично при обработке результатов моделирования можно подойти к оценке вероятностей возможных значений случайной величины, т. е. закона распределения. Область возможных значений случайной величины η разбивается на п интервалов. Затем накап­ливается количество попаданий случайной величины в эти интерва­лы . Оценкой для вероятности попадания случайной величины в интервал с номером k служит величина m _k/ N. Таким образом, при этом достаточно фиксировать n значений m_k при обработке результатов моделирования на ЭВМ.

Для оценки среднего значения случайной величины η накаплива­ется сумма возможных значений случайной величины y _k, k= , которые она принимает при различных реализациях. Тогда среднее значение

При этом ввиду несмещенности и состоятельности оценки

В качестве оценки дисперсии случайной величины η при обработ­ке результатов моделирования можно использовать

Непосредственное вычисление дисперсии по этой формуле нера­ционально, так как среднее значение изменяется в процессе накоп­ления значений y_k. Это приводит к необходимости запоминания всех N значений у _k. Поэтому более рационально организовать фиксацию результатов моделирования для оценки дисперсии с исполь­зованием следующей формулы:

Тогда для вычисления дисперсии достаточно накапливать две суммы: значений y _k и их квадратов y _k².

Для случайных величин ξ и η с возможными значениями x _k и y _k корреляционный момент

или

Последнее выражение вычисляется при запоминании в процессе моделирования небольшого числа значений.

Если при моделировании системы S искомыми характеристи­ками являются математическое ожидание и корреляционная функ­ция случайного процесса у (t) [в интервале моделирования (0, T)], то для нахождения оценок этих величин указанный интервал разбива­ют на отрезки с постоянным шагом Δt и накапливают значения процесса y_k(t) для фиксированных моментов времени t=t_m=mΔt.

При обработке результатов моделирования математическое ожидание и корреляционную функцию запишем так:

где u и z пробегают все значения t_m.

Для уменьшения затрат машинных ресурсов на хранение проме­жуточных результатов последнее выражение также целесообразно привести к следующему виду:

Отметим особенности фиксации и обработки результатов моде­лирования, связанные с оценкой характеристик стационарных слу­чайных процессов, обладающих эргодическим свойством. Пусть рассматривается процесс у (t). Тогда с учетом этих предположений поступают в соответствии с правилом: среднее по времени равно среднему по множеству. Это означает, что для оценки искомых характеристик выбирается одна достаточно продолжительная реализация процесса y(t), для которой целесообразно фиксировать результаты моделирования. Для рассматриваемого случая запишем математическое ожидание и корреляционную функцию процесса:

На практике при моделировании на ЭВМ системы S интервал (О, Т) оказывается ограниченным и, кроме того, значения y(t) удается определить только для конечного набора моментов времени t_m. При обработке результатов моделирования для получения оценок и В (τ) используем приближенные формулы

которые целесообразно преобразовать к виду, позволяющему эф­фективно организовать порядок фиксации и обработки результатов моделирования на ЭВМ.

Л.1 стр.175-186, Л.2,стр. 93-101

Контрольные вопросы

1. Определение корреляционных функций сигналов.

2. Статические методы получения частотных характеристик.