Приклад розв’язання задачі методом статистичного моделювання

Як відзначалося вище, кінцевою метою статистичного моделювання є обчислення статистичних оцінок числових характеристик (параметрів розподілу) випадкової величини, яка є результатом процесу, що досліджується. Як правило, це є оцінки математичного очікування і дисперсії результуючої випадкової величини. Якщо величини x1, x2, …, xn є результатами n реалізацій одного і того ж процесу, то статистичні оцінки математичного сподівання і дисперсії результуючої випадкової величини обчислюється за формулами:

= (3.1)

= (3.2)

В теорії математичної статистики доказано, що значення оцінок і

достатньо близькі до математичного сподівання m і дисперсії , якщо n 30.

Як приклад, розглянемо послідовність розв’язання наступної задачі.

Треба оцінити точність виходу повітряного судна із точки А в точку В (рис. 4.1) за умови, що політ виконується за прямолінійною траєкторією у режимі обчислення шляху. З метою деякого спрощення задачі спочатку вважаємо, що такої оцінки потребує тільки точність за координатою Х ортодромічної системи координат ХОY (оцінка за координатою Y здійснюється аналогічно).

Вважаємо також, що відлік курсу Y польоту здійснюється відносно осі ОY.

Екіпажу повітряного судна відомі курс польоту ψ, відстань S між точками А і В, а також істинна швидкість V , з якою буде виконуватися політ. Перед виконанням польоту у режимі обчислення шляху екіпаж визначає час польоту: t = S/V . Щоб вийти із точки А в точку В, екіпаж у процесі виконання польоту витримує задані (розрахункові) значення курсу ψ і істинної швидкості V протягом часу t. Але і курс ψ, і швидкість Vi витримуються з суттєвими похибками, в результаті чого повітряне судно буде виведене, наприклад, в точку В (вважають, що відлік часу здійснюється достатньо точно). Оскільки похибки D і D витримування курсу і швидкості є випадковими величинами, то випадковими будуть також значення координат х і y точки B .

Якщо не враховувати похибки D і D , то:

x = x + V_i t cos ψ.

У випадку врахування згаданих похибок координата Х кінцевої точки польоту матиме значення:

х = x + (V + D ) t cos (ψ + D ) (3.3)

В останньому виразі всі величини, крім похибок Dψ і DV, відомі (задані), тому для обчислення х необхідно знати значення згаданих похибок, які в процесі статистичного моделювання одержують шляхом розіграшу (імітування). Під розіграшем випадкових величин розуміють їх обчислення у відповідності з відомими, стандартними алгоритмами (формулами). Форма такого алгоритму залежить від виду (закону) імовірнісного розподілу випадкової величини, що обчислюється. Крім цього, в алгоритм входять параметри (числові характеристики) згаданої випадкової величини. Тому для розв’язання задачі методом статистичного моделювання необхідно знати:

- аналітичний вираз, який пов’язує результуючу випадкову величину (у наведеному прикладі це є х ) з початковими випадковими величинами (у прикладі це є Dψ і DV), тобто вираз, яким у наведеному прикладі є (3.3);

- імовірнісний закон розподілу кожної початкової випадкової величини і його параметри (цими параметрами є, як правило, математичне сподівання і дисперсія).

Знаючи імовірнісний закон розподілу випадкової величини і використавши спеціальну літературу з питань статистичного моделювання, визначимо форму алгоритму, за яким можна обчислити (“розіграти“) випадкові значення згаданої величини. А значення параметрів розподілу (числових характеристик) випадкової величини, що розігрується, необхідно знати тому, що вони є складовими алгоритму розіграшу цієї величини.

В літературних джерелах є інформація, згідно з якою похибки Dψ і DV можна вважати розподіленими нормально з нульовим математичним сподіванням, а значення середніх квадратичних відхилив s і s (дисперсій sV2 і sψ2) похибок D і D залежать від типу повітряного судна. А “розіграш“ нормально розподіленої випадкової величини x з нульовим математичним сподіванням можна здійснити за алгоритмом (існують також інші форми алгоритмів для такого “розіграшу“):

х = s () (3.4)

де s - середній квадратичний відхил випадкової величини х; a - випадкові числа, рівномірно розподілені у діапазоні 0 ¸ 1.

В спеціальній літературі з математичної статистики наводяться таблиці випадкових чисел, рівномірно розподілених у діапазоні 0 ¸ 1. Крім цього, будь – яка електронна обчислювальна машина (ЕОМ) і навіть деякі мікрокалькулятори обчислюють (“генерують“) такі числа згідно зі стандартною підпрограмою.

Слід зауважити, що у наведеній формулі (3.4) можна використати суму більше шести випадкових чисел, і чим більше їх використаємо, тим ближчим до нормального буде імовірнісний розподіл випадкової змінної х.

Отже, тепер можемо записати вираз (3.3) у такій формі:

х = x + [ Vt + s () t ] cos [ Y + s () ] (3.5)

де s і s - середні квадратичні відхили похибок витримування розрахункових (заданих) значень істинної швидкості і курсу польоту.

Таким чином, згідно з виразом (3.5) можемо обчислити (“розіграти“) реалізацію фактичного значення координати х кінцевої точки траєкторії польоту із точки А в точку В у режимі зчислення шляху, попередньо одержавши для цього 12 випадкових чисел, рівномірно розподілених в діапазоні 0¸1.

Випадкові значення координати y кінцевої точки польоту за прямолінійною траєкторією у режимі зчислення шляху

y = y + [ Vt + s () t ] sin [ Y + s () ]

“Розігравши” значення відповідної координати кінцевої точки не менше 30 разів, можемо відповідно до (4.1) і (4.2) обчислити статистичні оцінки математичного сподівання і середнього квадратичного відхилу похибок виходу повітряного судна в точку В за цією координатою.

Аналогічно можна “розіграти” випадкові значення координат кінцевої криволінійної траєкторії руху повітряного судна, але при цьому вирази для обчислення координат будуть більш складними, оскільки в цьому випадку похибки виходу в кінцеву точку траєкторії залежать не тільки від похибок дотримання заданих значень швидкості і курсу польоту, але й від заданого значення кута крену повітряного судна і похибок його витримування.

Треба мати на увазі, що у процесі “розіграшу” кожної реалізації випадкової змінної слід “розіграти” нові значення випадкових чисел, з використанням яких обчислюється випадкова змінна, що обчислюється. Адже саме завдяки цьому значення випадкових змінних для різних реалізацій виявляються, взагалі кажучи, різними.