Экономическая интерпретация задачи линейного программирования

Пример 2.1. Пусть требуется определить план выпуска четырёх видов продукции П₁, П₂, П₃, П₄, для изготовления которых необходимы ресурсы трёх видов: трудовые, материальные, финансовые. Количество каждого i -го вида ресурса для производства каждого j -го вида продукции называют нормой расхода и обозначают a_{i j}. Количество каждого вида ресурса, которое имеется в наличии, обозначают b_i (табл.2.1.).

Из таб.2.1 видно, что для выпуска единицы продукции, например вида П₂, требуется две единицы трудовых ресурсов, П₃ – четыре единицы материальных ресурсов и т.д.; предприятие располагает 100 единицами финансовых ресурсов, 40 единицами трудовых, исходя из спроса заданы верхние и нижние пределы границы выпуска каждого вида продукции.

Таблица 2.1

Ресурсы (i)	Вид продукции (j)	Запас ресурса (bi)
П1	П2	П3	П4
Удельный расход ресурсов (ai j)
Трудовые Материальные Финансовые
Граница: нижняя верхняя		–	–		– –
План	х 1	х 2	х 3	х 4	–

На основании исходных данных требуется составить математическую модель для определения плана выпуска продукции.

Решение. Обозначим через х ₁, х ₂, х ₃, х ₄ – количество выпускаемой продукции видов П₁, П₂, П₃, П₄, которое надо найти.

Теперь составляем ограничения. Из табл.2.1 видно, что для выпуска единицы продукции П₁ требуется одна единица трудовых ресурсов, П₂, П₃, П₄ – соответственно 2, 3, 4 единиц трудовых ресурсов. Тогда потребный трудовой ресурс для выпуска всех видов продукции будет равен х ₁+2 х ₂+3 х ₃+4 х ₄.

Очевидно, что потребный ресурс не может превышать располагаемый, т.е. для трудового ресурса справедливо неравенство

х ₁ +2 х ₂+3 х ₃+4 х ₄ £ 40,

где 40 – располагаемый ресурс (табл.2.1).

Если составить аналогичные зависимости для остальных видов ресурсов и добавить предельно допустимые значения для выпуска каждого вида продукции, то получим систему:

(3)

В этой системе неравенства, устанавливающие зависимости для ресурсов – ограничения, а предельно допустимые значения переменных – граничные условия. В ограничениях левые части неравенства – потребные ресурсы, а правые – располагаемые.

Если в неравенства ввести дополнительные переменные у ₁³0, у ₂³0, у ₃³0, то можно записать

(4)

В этой системе дополнительные переменные – это разность между располагаемым ресурсом и потребным и, следовательно, равные неиспользуемому ресурсу, т.е. это резервы каждого вида ресурсов.

Очевидно, что система (4), содержащая три уравнения и семь переменных, имеет бесчисленное множество решений, т.е. различных вариантов плана. Все эти возможные варианты, удовлетворяющие системе (3), являются допустимыми планами.

Если получить оптимальное решение очень важно, то иметь допустимое решение – необходимо.

Любая правильно составленная задача планирования (как и в данном примере) имеет бесчисленное множество допустимых решений. Какое из них выбрать?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сформулировать задачу оптимизации в какой-либо из двух взаимоисключающих постановок.

Обозначим: Q – ресурсы, R – результат их применения. Тогда при заданных зависимостях результата и потребных ресурсов от количества выпускаемой продукции R = f (x _j), Q = j(x _j) обе постановки распределения ресурсов можно записать:

для первойпостановки L 1 = R ® max; Q £ Q пл;

для второйпостановки L 2 = Q ® min; R £ R пл,

где Q _пл, R _пл – заданные (плановые или прогнозируемые) значения ресурсов результата.

Для составления модели в какой-либо постановке потребуются дополнительные данные: прибыль от реализации единицы продукции каждого вида и плановая прибыль в целом от производства всей продукции.

Пусть для продукции видов П₁, П₂, П₃, П₄ она составит соответственно 60, 70, 120, 130, а суммарная прибыль от всего производства должна быть не менее 1000.

Тогда для первой постановки к системе (3) добавляем ЦФ и получаем математическую модель:

Для второй постановки:

Так как у ₁, у ₂, у ₃ – резервы по ресурсам, то максимизация их суммы обеспечивает минимизацию используемых ресурсов.

В результате решения задачи в двух постановках (табл.2.2), видно, что эти результаты тоже различные.

Таблица 2.2

Постановка

ЦФ

Граничные условия

R

Q

h= R / Q

x 1

x 2

x 3

x 4

y 1

y 2

y 3

R ®max

Q £250

180,5

7,48

7,5

4,5

Q ®min

R ³1000

7,31

4,6

13,2

76,6

23,2

В первой постановке max R ₁ = 1350, общее количество использованных ресурсов Q = 180,5. При этом ресурсы оказались подразделёнными на две группы: лимитирующие, для которых y_i = 0, и нелимитирующие, для которых y_i >0. К первой группе относят финансы, ко второй – трудовые и материальные. Значит, увеличение финансов приведёт к увеличению прибыли, а рост трудовых и материальных – нет. Отсюда вывод: для увеличения выпуска продукции не требуется увеличение всех ресурсов, а только – лимитирующих (на практике – требуют всех).

Во второй постановке общее число использованных ресурсов Q ₂ = 137 и для всех их видов есть резервы. Дальнейшее уменьшение ресурсов ограничено требованием прибыли (не менее 1000).

ПРОВЕРКА СБАЛАНСИРОВАННОСТИ ПЛАНОВ

Представьте себе такую ситуацию. Директор завода вызывает к себе начальника цеха и говорит ему: «Надо сделать 20 болтов, но металл тебе никто не даст». Очевидно, такого быть не может. Все известно, что для того, чтобы выпустить продукцию, необходимо иметь сырьё.

Требование выпуска продукции без обеспечения его ресурсами – это ЧП. Нет, не то ЧП, которое «чрезвычайное происшествие», а то ЧП, которое «часто встречающееся положение».

К сожалению, часто имеет место несбалансированность планов по номенклатуре, нормам расхода и обеспеченности ресурсами. Не вызывает сомнения, что работать по несбалансированным планам невозможно. Именно несбалансированный план порождает нарушения производственной дисциплины: либо его корректировку, либо приписки, так как выполнить его нельзя.

Сбалансированность планов по номенклатуре и ресурсов можно проверить с помощью моделирования на ЭВМ, и ответ будет получен не в конце планового периода, когда изменить уже ничего нельзя. а сразу же при решении задачи. При этом необходимо использовать достоверную информационную базу, в частности, удельные нормы расхода ресурсов.

Именно математические модели позволяют проанализировать причины несбалансированности планов и выявить недостоверность исходных данных.

Пример 2.2. Покажем, как можно обеспечить условие сбалансированности на примере предыдущей задачи (первая постановка). Только теперь в связи с изменившимся спросом продукцию П₁ необходимо выпускать в количестве не менее 12, а П₂ – не менее 5 ед. Перепишем новое условие задачи (табл.2.3).

Таблица 2.3

Ресурсы (i)	Вид продукции (j)	Запас ресурса (bi)
П1	П2	П3	П4
Удельный расход ресурсов (ai j)
Прибыль на ед. продукции Трудовые Материальные Финансовые					–
Граница: нижняя верхняя		–	–		– –
План	х 1	х 2	х 3	х 4	–

Решение. Из этой таблицы не вино, вызывает ли такое дополнительное условие несбалансированность плана. Для ответа на этот вопрос составим математическую модель новой задачи:

В результате решения этой задачи на ЭВМ окажется, что задача не имеет решения, так как она не сбалансирована по ресурсам. Например, по материальным ресурсам (второе ограничение): для проверки сбалансированности подставим вместо x_j (j = 1...4) значения, равные нижним границам этих переменных, т.е. проверим, хватит ли материальных ресурсов для выполнения плана на нижнем пределе допустимых значений. При этом потребный ресурс составит: 6´12+5´5+4´2+3´3=114, что больше располагаемого, равного 100. Аналогично можно проверить и по другим видам ресурсов (самостоятельно).

Что же делать, если план не сбалансирован (хотя бы даже по одному из видов ресурсов), хотя данная постановка правильно описывает реальную экономическую ситуацию? Попробуем обратиться за помощью к ЭВМ (конечно, не в расчёте, что ЭВМ заменит недостающие ресурсы) для анализа подобных несбалансированных задач.

При постановке любой задачи распределения ресурсов до получения решения неизвестно (естественно) сбалансирована она или нет. Поэтому в том случае, когда есть подозрение, что задача может оказаться несбалансированной, имеет смысл сразу же составить модель с учётом возможной недостачи ресурсов. В такой модели отличия будут в ограничениях по ресурсам, которые можно представить так:

где у ₁, у ₂, у ₃ – количество необходимого дополнительного ресурса каждого вида.

Если в результате решения окажется, что какое-то y_i = 0, значит по этому виду дополнительных ресурсов не потребуется.

В том случае, если мы хотим минимизировать дополнительные ресурсы, ЦФ min L = у ₁+ у ₂+ у ₃. Так как ЦФ может быть только одна, а нас интересует размер получаемой прибыли, включим её значение в систему и окончательно сформулируем новую задачу:

Результаты решения этой задачи (табл.2.4) показывают сколько и какого вида ресурса требуется, если будет добавлен необходимый ресурс дополнительно.

Таблица 2.4

Показатель	у 1	у 2	у 3	Суммарный доп. ресурс	х 1	х 2	х 3	х 4	Максимальная прибыль
Значение

В нашем примере трудовой ресурс достаточен и используется полностью. Вся продукция выпускается на нижней границе. При этом будет получена прибыль 1700. Вот что даёт решение несбалансированной задачи на ЭВМ, которая, конечно, не заменила дополнительные ресурсы. но показала, что нужно для выполнения несбалансированного плана. Переоценить пользу такого анализа вряд ли возможно.

Следовательно, один из методов преодоления несбалансированного плана – привлечение дополнительных ресурсов. А если ресурсы добавить нельзя, можно ли получить сбалансированный план?

Так как планирование – это решение математическое задачи, а в математике чудес не бывает, то на этот вопрос мы ответим утвердительно. Да, может. Но...

Но должен быть выполнен один из двух вариантов:

- уменьшение нижнего предела выпуска,

- уменьшение нормы расхода каждого ресурса.