Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если в пространстве или любой части пространства каждой точке М сопоставлено значение скалярной величины , то говорят, что задано скалярное поле .
Примеры скалярных полей физических величин: поле плотности, поле давления, поле электростатического потенциала, поле температуры нагретого тела и т. д.
В общем случае скалярное поле представляет собой функцию трёх пространственных координат и времени В случае, когда поле не зависит от времени , скалярное поле называют стационарным (устоявшимся). Для простоты рассуждений при изучении основ математической теории поля будем рассматривать только стационарные поля.
Скалярные поля могут быть изображены геометрически с помощью поверхностей уровня.
Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек пространства, в которых скалярная функция имеет некоторое постоянное значение.
Уравнение поверхности уровня имеет вид: где В случае двумерного поля поверхности уровня вырождаются в линии уровня.
Примерами поверхностей уровня являются, в частности, эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда, в поле температуры — изотермы (), в поле давлений — изобары ().
Рис.21 |
Пусть скалярное поле имеет в точке зачение (рис.2), а в точке , находящейся на расстоянии от в направлении — значение .
Производной скалярного поля в точке по направлению называется предел отношения приращения скалярного поля при смещении на вдоль к величине этого смещения, когда последнее стремится к нулю.
(2.1.1) |
Рис.3232 |
Проведём через линию уровня, соответствующую значению . Построим также линию уровня, соответствующую большему значению поля (рис.3). Найдём производные по направлению нормали к линии уровня , и произвольному направлению ( — единичные).
По определению производной по направлению:
Из анализа рисунка и условий, что , видно, что . Учитывая это, можно показать, что:
(2.1.2) |
Из анализа выражения (2.1.2) следует, что в любой точке поля производная по нормали к линии уровня больше производной по любому другому направлению. Таким образом, можно считать, что направление нормали определяет направление наибыстрейшего возрастания поля. Это направление выделяют особо, и связывают с ним понятие градиента скалярного поля.
Градиентом скалярного поля в точке называются вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания скалярного поля, модуль которого равен производной скалярного поля по этому направлению:
(2.1.3) |
С учётом (2.1.3) и определения скалярного произведения векторов формула (2.1.2) перепишите в виде:
(2.1.4) |
Из выражения (2.1.4) следует, что производная по произвольному направлению любому направлению равна проекции модуля градиента на это направление.
Найдём координаты градиента в декартовой системе координат. По формуле (2.1.4): , , . Следовательно, в декартовой системе координат:
(2.1.5) |
Модуль градиента скалярного поля рассчитывается по формуле:
Координаты единичного вектора в декартовой системе координат (рис.3) могут быть определены как , , , где , , — направляющие косинусы направления
Как уже было показано в выражении (2.1.4): . Тогда, учитывая свойства скалярного произведения векторов, производная по направлению может быть найдена следующим образом:
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 551 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!