Смешанное произведение векторов

Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ ab ] на вектор с.

Обозначение: abc = [ ab ] c.

Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение [ ab ] c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ ab ] c = 0.

Доказательство.

а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ ab ] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ ab ] c. Поэтому [ ab ] c = 0.

в) Если a,b,c не компланарны, [ ab ] c = |[ ab ]|| c | = S·| c |cosφ, где φ – угол между с и [ ab ]. Тогда | c |cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ ab ] c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ ab ]. Утверждение доказано.

Следствие. [ ab ] c = a [ bc ].

Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся: abc.

2) Если a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, c = {X_c, Y_c, Z_c}, то

abc = .

Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:

[ ab ] c = (Y_aZ_b – Y_bZ_a) X_c + (X_bZ_a – X_aZ_b) Y_c + (X_aY_b – X_bY_a)Z_c = .

Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0}, c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:

следовательно, векторы компланарны.

Пример 2. Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А(0, -3, -1), В(3, 3, 2),

С(1, 0, -3) и D(2, -1, 1).

Отметим, что объем пирамиды ABCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD. Найдем координаты этих векторов:

AB = {3,6,3}, AC = {1,3,-2}, AD = {2,2,2}. Тогда AB AC AD =

Cледовательно, объем пирамиды равен 18:6 =3.