Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение 6.2. Вектор с называется векторным произведением векторов а и b, если:
1) | c | = | a||b | sinφ, где φ – угол между а и b.
2) c a, c b.
3) Тройка векторов abc является правой.
Обозначения векторного произведения: c = [ ab ], c = a b.
Свойства векторного произведения.
1) [ ba ] = - [ ab ].
Доказательство.
Вектор - с удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами b и а правую тройку векторов.
2) [ ab ] = 0 a ║ b.
Доказательство. Из первого пункта определения 6.2 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов а и b.
3) Модуль векторного произведения |[ ab ]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.
Доказательство следует из первого пункта определения 6.2.
Определение 6.3. Орт еа произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный (| еа | = 1, еа || a).
Cледствие из свойства 3. [ ab ] = S e, где е – орт вектора [ ab ].
4) [(k a) b ] = k [ ab ].
5) [(a + b ) c ] = [ ac ] + [ bc ].
6) Если в декартовой системе координат a = {Xa, Ya, Za}, b = {Xb, Yb, Zb}, то
[ ab ] =
Доказательство.
Представим векторы а и b в виде: a = Xa i + Ya j +Za k, b = Xb i + Yb j +Zb k. Отметим, что [ ij ] = k, [ jk ] = i, [ ki ] = j, [ ii ] = [ jj ] = [ kk ] = 0. Тогда с использованием свойств 4 и 5 получим:
[(Xa i + Ya j + Za k)(Xb i + Yb j + Zb k)] =(YaZb – YbZa) i +(XbZa – XaZb) j + (XaYb – XbYa) k, что доказывает свойство 6.
Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = {3, -4, 2} и b = {1, 5, 1}.
[ ab ] = ={-14, -1, 19}.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 303 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!