Скалярное произведение векторов

Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = | a || b | cosφ. (5.4)

Обозначения скалярного произведения: ab, ( ab ), a·b.

Свойства скалярного произведения:

1. ab = | a | пр_а b.

Доказательство. По свойству проекции пр_а b = | b | cos φ, следовательно, ab = | a | пр_а b.

2. ab = 0 a b. 3. ab = ba.

4. (k a) b = k(ab).

5. (a + b ) c = ac + bc.

6. a ² = aa = | a |², где а ² называется скалярным квадратом вектора а.

7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂},

то ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂. (5.5)

Доказательство. Используя формулу (5.3), получим:

ab = (X₁ i + Y₁ j + Z₁ k )(X₂ i + Y₂ j + Z₂ k ).

Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:

ab = X₁X₂ ii +Y₁Y₂ jj + Z₁Z₂ kk + X₁Y₂ ij +X₁Z₂ ik + Y₁X₂ ji + Y₁Z₂ jk + Z₁X₂ ki + Z₁Y₂ kj.

Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому

ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂.

8. cosφ = . (5.6)

Замечание. Свойства 2, 3, 4 доказываются из определения 5.14, свойства 5, 6 – из свойств проекции, свойство 8 – из свойства 7 и свойств направляющих косинусов.

Пример.

a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов а и b:

ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.

Лекция 6.

Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Условия коллинеарности и компланарности векторов.

Будем называть три вектора а,b,c, для которых определен порядок следования, тройкой (или упорядоченной тройкой) векторов.

Определение 6.1. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и b, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

с с

b a

A b

abc – правая тройка abc – левая тройка

Замечание. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат, т.е. системы, базисные векторы которых образуют правую тройку.