Кафедра высшей математики - 1

Курсовая работа

по курсу «Численные методы»

Численные методы решения краевых задач для уравнений математической физики.

Вариант 81.

Выполнил:

С тудент группы МП-32 Кузин К.С.

Преподаватель:

Хахалин С.Я.

Москва 2008 г.

Содержание

1.кЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЯ, ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ 3

2. Метод сеток, сеточные функции, сеточные пространства 5

3. Вычислительные схемы решения сеточных уравнений 5

4. явная разностная схема для волнового уравнения 5

4.1. Аппроксимация дифференциального уравнения. 5

4.2. Аппроксимация 1-го начального условия. 6

4.3. Аппроксимация 2-го граничного условия. 6

4.4. Аппроксимация 2-го начального условия. 6

4.5. Аппроксимация 1-го граничного условия. 6

4.6. Аппроксимация решения. 7

4.7. Устойчивость решения. 8

4.8. Сходимость решения. 8

5. неявная разностная схема для волнового уравнения 8

5.1. Аппроксимация дифференциального уравнения. 8

5.2. Аппроксимация начальных условий. 9

5.3. Аппроксимация 2-го граничного условия. 9

5.4. Аппроксимация 1-го граничного условия. 9

5.5. Определение прогоночных коэффициентов. 10

5.6. Исследование схемы. Устойчивость. 11

6. Практическая область применимости явной и неявной схем 12

7. исследование сходимости решения по сетке 13

8. решение модельной задачи 13

9. Результаты работы программы 15

10. текст программы 24

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 36

1. Классификация уравнения, физическая интерпретация задачи.

Данное неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка является уравнением продольных колебаний струны. Рассмотрим струну длиной . Положение каждой точки струны характеризуется значением абсциссы . - вертикальное отклонение струны в точке в момент времени от положения равновесия.

Для выделения единственного решения задачи для дифференциального уравнения необходимы дополнительные условия. Условия, поставленные при t=0, называются начальными. Условия, поставленные на границе области изменения пространственной переменной, называют граничными или краевыми. Рассматриваем задачу в прямоугольной области изменения переменных . Начальные и граничные условия определяют решение уравнения колебаний струны , где , - натяжение струны, - плотность материала струны.

Начальные значения и задают начальную форму струны и распределение скоростей в начальный момент времени. Граничное условие первого рода (условие Дирихле) определяет закон движения правого конца струны – условие «свободного конца». Для левого конца в качестве граничного условия задано условие второго рода (условие Неймана) . Функция имеет смысл плотности внешней силы, рассчитанной на единицу длины.

Сформулируем первую краевую задачу для уравнения колебаний струны: найти функцию , определенную в области , удовлетворяющую уравнению , а также начальным и граничным условиям.

Рассмотрим канонический вид уравнения гиперболического типа:

, .

Проведем замену переменных: . В новых переменных уравнение приобретает вид:

, .

Если считать и уже преобразованными переменными, то задача принимает вид: