Задача линейного программирования и основы оптимального управления

Задачи и методические указания

Задача 3.1. Стандартная ЗЛП характеризуется параметрами:

, , .

Требуется:

найти оптимальный план этой задачи графическим методом.

Найти оптимальный план численно в Excel, используя Поиск решения; при этом в окне диалога Параметры поиска решения необходимо установить опцию Линейная модель, а в окне диалога Результаты поиска решения задать формирование всех трех типов отчетов: по результатам, по устойчивости и по пределам

Построить задачу, двойственную по отношению к исходной; найти ее решение в Excel и в Maple; сравнить найденные теневые цены со значениями, приведенными в Отчете по устойчивости в Excel.

Задача 3.2. В условиях предыдущего задания рассматривается целесообразность выпуска третьего типа продукции. Затраты каждого из четырех видов сырья на производство единицы продукции третьего типа равны . Получит ли предприятие дополнительный доход, если установить цену продажи продукции третьего типа ? Какой должна быть цена продажи продукции третьего типа, чтобы предприятие получило дополнительный доход?

Задача 3.3. Решить стандартную ЗЛП со следующими параметрами:

, .

Задача 3.4. Для изготовления четырех видов продукции (А, Б, В, Г) используются три вида ресурсов (I, II, III). Другие условия задачи приведены в таблице:

Ресурсы	Запас ресурсов	Удельный расход сырья (на единицу прод.)
А	Б	В	Г
I				0,5
II
III
Удельный доход	7,5

1. Определить план выпуска продукции, при котором доход от ее реализации будет максимальным.

2. Определить изменение максимального дохода от реализации продукции при увеличении запаса ресурса I на 40, ресурса III на 50 и уменьшении запаса ресурса II на 30. Оценить раздельное влияние этих изменений и их суммарное влияние.

3. Оценить целесообразность введения в план пятого вида продукции Д, удельные расходы сырья для которого составляют 2, 4, 2, а удельный доход – 15.

Задача 3.5. На двух автоматических линиях выпускают изделия трех типов. Другие условия задачи приведены в таблице:

Тип изделия	Производительность работы линий, шт. в сутки	Затраты на работу линий, ден. ед. в сутки	План, шт.
A
B
C

Составить такой план загрузки линий, чтобы затраты были минимальными, а задание выполнено не более чем за 10 суток.

Задача 3.6. Решить транспортную задачу, если мощности поставщиков , запросы потребителей и стоимость перевозки определяется матрицей:

.

Задача 3.7. Рассчитайте такой план эксплуатации бульдозеров, чтобы суммарное время, затрачиваемое на переезды было наименьшим.

Количество бульдозеров на базах:

А1	А2	А3

Количество бульдозеров, необходимых на объектах:

О1	О2	О3	О4

Время, затрачиваемое бульдозером на переезд с каждой из автобаз на объекты и обратно приведено в следующей таблице:

	О1	О2	О3	О4
А1
А2
А3

Задача 3.8. Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за помощью к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях – посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее исключительно из двух новомодных продуктов А и В. Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но и не менее 3000 калорий (чтобы не сойти с дистанции). На банке с продуктом А написано, что она содержит 15 единиц жира и 1500 калорий, а на банке с продуктом В – 4 единицы жира и 2000 калорий. При этом цена одной банки продукта А равна 15 руб., а одной банки продукта В – 25 руб. Так как дама просто приятная была в это время стеснена в средствах, то ее интересовал ответ на вопрос: сколько банок продуктов А и В нужно употреблять ежедневно, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?

Контрольные вопросы

Напишите уравнение прямой на плоскости. Единственным ли образом можно записать уравнение прямой на плоскости?

Напишите уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Каков смысл параметров, входящих в это уравнение? Единственным ли образом можно записать уравнение плоскости в трехмерном пространстве?

Как задается на плоскости множество точек, лежащих по одну сторону от некоторой прямой (т.е. полуплоскость)?

Какое множество точек в Еⁿ называется ограниченным? Выпуклым?

Как определяются вершины (угловые точки) выпуклого множества?

Дайте определение стандартной ЗЛП, канонической ЗЛП.

Как определяется ОДР для ЗЛП?

Какой смысл имеет в ЗЛП оптимальный план? В каких точках ОДР он может находиться?

Опишите графический метод решения стандартной ЗЛП с двумя переменными.

Дайте определение задачи, двойственной по отношению к стандартной ЗЛП. Сформулируйте известные вам теоремы двойственности.

В каком случае стандарная ЗЛП имеет не одно, а несколько решений. Дайте геометрическую интерпретацию для ЗЛП с двумя переменными.

Какие величины называют теневыми ценами? Дайте их содержательную интерпретацию. Для чего можно использовать теневые цены?

При каком условии транспортная задача называется закрытой?

При каком условии транспортная задача называется открытой? Как находить решение открытой транспортной задачи?

В чем особенность задачи целочисленного линейного программирования?

Литература

Высшая математика для экономистов. / Под ред. Кремера Н.Ш. М.: Банки и биржи. ЮНИТИ, 2001.

Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2002.

Шолохович Ф. А., Васин В.В. Основы высшей математики. Екатеринбург, УрГУ, 1999.

Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Дело, 2002.

Гарнаев А.Ю. Excel, VBA, Internet экономике и финансах. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001.