Виды дисперсий и закон (правило) сложения дисперсий

Выделяют три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности и исчисляется по формуле

s_о² = å (х_i -`x_o )² * f_i / å f_i

где `х_o - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних `х<sub>i</sub> около общей средней`х_o и вычисляется по формуле

d² = å (`х<sub>i</sub> -`x_o )² * f_i / å f_i

где `х<sub>i</sub> - средняя по отдельным группам; `x_o - средняя общая; f_i - численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, не учитываемых факторов и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.

Определяется она по формуле:

`s_i² = å s _i² * f_i / å f_i

Дисперсия альтернативного (качественного) признака.

Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности и не обладают другие. При статистическом выражении колеблемости альтернативных признаков наличие изучаемого признака обозначается 1, а его отсутствие - 0. Доля вариантов, обладающих изучаемым признаком, обозначается р, а доля вариантов, не обладающих признаком, обозначается q. Следовательно, p + q = 1.

Найдем их среднее значение и дисперсию:

` х = å x * f / å f = (1*p + 0*q) / p+q = p

т. е. доля единиц, обладающих изучаемым признаком, равна р,

так как 0*q=0 и р+q=1.

Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, и доли единиц, не обладающих им

s_p² = å (х -`х)² * f / å f = (1 - p)² *p + (0 - p)² * q / p+q = p*q