Биматричная игра

Часто встречаются ситуации, в которых интересы игроков хотя и не совпадают, но уже не обязательно являются противоположными.

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А – может выбрать любую из стратегий А₁, А₂,…, А_m,

игрок В – любую из стратегий В₁, В₂,…, В_n.

При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно:

если игрок А выбрал i -ю стратегию, а игрок В – k -ю стратегию, то в игре выигрыш игрока А будет равен некоторому числу , а выигрыш игрока В некоторому другому числу .

Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.

Последовательно перебирая стратегии обоих игроков можно заполнить их матрицы выигрышей. Таким образом, получим две платежные матрицы, отсюда и называние - биматричная игра.

Пример. Фирма А намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, которые контролируются более крупной фирмой В. С этой целью она проводит подготовительную работу, связанную с определенными затратами. Если фирма В разгадает, на каком рынке фирма А будет продавать свой товар, то она примет контрмеры и воспрепятствует “захвату” рынка (этот вариант означает поражение фирмы А); если нет, то фирма А одерживает победу. Предположим, что для фирмы А проникновение на первый рынок более выгодно, чем проникновение на второй, но и борьба за первый рынок требует от нее больших средств. Например, победа фирмы А на первом рынке приносит ей вдвое большую прибыль, чем победа на втором, но зато поражение на первом рынке полностью ее разоряет. Пусть для фирмы А ее победа на первом рынке оценивается в 2 ед., а на втором рынке – в 1 ед.; поражение фирмы А на первом рынке оценивается в 10 ед., а на втором – в -1 ед. Для фирмы В ее победа составляет соответственно 5 и 1 ед., а поражение -2 и -1 ед.

В результате получаем биматричную игру с матрицами выигрышей

Решение. Существуют специальные методы решения биматричных игр, но мы воспользуемся способом решения матричной игры, разбив данную игру на две матричные.

1. Игра с матрицей

Решая эту игру графическим методом, найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А (фирмы А) - { },

цену этой игры = – ,

а затем и оптимальную смешанную стратегию для игрока В - { }.

2. Игра с матрицей

Решая эту игру графическим методом, найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока В (фирмы В) - { },

цену этой игры = ,

а затем и оптимальную смешанную стратегию для игрока А - { }.

Таким образом, соответствующие смешанные стратегии игроков имеют следующий вид Р = { }, Q = { },

а средние выигрыши игроков таковы

H_A = - , H_В = .

Замечание. Первые элементы полученных множеств являются координатами точки равновесия, в нашем случае это будет точка ()

Ответ: Р ={ }, Q = { }, H_A = - , H_В = .