Техническое обеспечение математического моделирования

Для реализации математических моделей при исследовании технических систем, как правило, используют материальные модели косвенного подобия (аппаратные средства). Для этих целей используют электронные вычислительные машины (ЭВМ). Все ЭВМ делятся на три больших класса: аналоговые, цифровые и гибридные.

Аналоговые вычислительные машины (АВМ) – это устройство, выполняющее вычислительные операции над операндами, представленными непрерывными физическими величинами различной природы. В электронных АВМ в качестве таких переменных используется электрическое напряжение постоянного тока и время.

Цифровые вычислительные машины (ЦВМ) оперируют с дискретными величинами. Все операции производятся автоматически над приближенными числами с определенной точностью, определяемой разрядной сеткой ЦВМ. В качестве физических величин используются импульсы постоянного тока, представляющие две цифры в двоичной системе счисления – 0 и 1. С развитием возможностей ЦВМ, стали использовать английский термин компьютер.

Гибридные вычислительные машины (ГВМ) – представляют собой систему из АВМ и ЦВМ.

Исторически для реализации математических моделей с начала использовались АВМ, поэтому многие методы и процедуры моделирования создавались с учетом технических возможностей АВМ. Любую вычислительную систему, которую используют в качестве технического средства для моделирования принято рассматривать в трех аспектах: элементная база для построения устройства, виды блоков для реализации математических операций, метод программирования задачи и точность выполнения операций.

Для АВМ элементной базой служат операционные усилители и четырехполюсники с определенным комплексным сопротивлением Z(s). Операционный усилитель (ОУ) – это усилитель электрических сигналов, предназначенный для выполнения различных операций над аналоговыми величинами при работе в схеме с отрицательной обратной связью. Соотношение между входным и выходным сигналом ОУ U_вх = - A· U_вых, причем A ≥ 10⁵

	Z2(s)

	Z1(s)		ОУ

U_вх

U_вых

Рис. 1. 12 Структурная схема решающего усилителя

Соединение ОУ и двух четырехполюсников по схеме обратной связи (рис.1.12) позволяет построить устройство, которое называют решающим усилителем (РУ), который имеет следующую идеальную передаточную функцию:

W(s) = - Z₂(s) / Z₁(s). (1.5)

Так, например, если Z₁(s) = R₁ Z₂(s) = R₂ (МОм), то W(s) = - R_1/ R₂ = - K (пропорциональное звено). В этом случае РУ реализует операцию умножения на постоянный коэффициент, причем 1 ≤ │К│ ≤ 10. С помощью РУ в АВМ реализуются линейные операции алгебраического сложения, интегрирования, дифференцирования. Кроме того, в АВМ имеются нелинейные блоки, осуществляющие операции аппроксимации функций, умножения, деления, а также блоки так называемых типовых нелинейностей: нечувствительность, ограничение, идеальное реле, люфт и их комбинации. Кроме того в составе АВМ имеются регулируемые источники напряжения и измерительные приборы. Принцип решения задачи на АВМ – аппаратный. Все узлы и блоки АВМ имеет стандартизированное условное графическое изображение. Эти символы используются для отображения программы решения в виде структурной схемы. При реализации ММ, по схеме создается электрическое соединение из узлов и блоков, которое позволяет решать задачу.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется реализовать на АВМ математическую модель инерционного звена первого порядка. Его математическая модель представляется в виде обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

Ty^′ + y = k x(t); y^′ = dy/dt (1.6)

Для решения задачи приведем уравнение к виду удобному для программирования на АВМ. Решим его относительно производной, так чтобы коэффициент при ней был равен единице.

y^′ = k/T• x(t) – 1/T•y = К₁• x(t) – К₂• y (1.7)

Значение производной представляет собой алгебраическую сумму двух слагаемых: входного воздействия x(t), умноженного на постоянный коэффициент и зависимой переменной y, также умноженной на постоянный коэффициент. Если проинтегрировать y^′, то можно получить Структурная схема решения будет такой (рис. 1.13).

К1

∫

∑

y^′ y

x(t)

Рис. 1.13 Структурная схема для программирования (1.13)

Решение образуется за счет итерационного процесса в замкнутом контуре. На сумматоре формируется производная y^′. Её интегрирование позволяет получить значение y, которое используется для формирования значения производной. Так как интегрирование производится с определенным шагом, практически эта схема реализует метод численного решения ОДУ.

Элементную базу ЦВМ образуют интегральные схемы различного уровня интеграции. Программирование осуществляется на специальных языках различного уровня универсальности и сложности.