Output Summary 12 страница

Приложения В. Статистические таблицы

Окончание табл. В.З

V	а= 0,995	а= о.99	а= 0.975	а= 0,95	«=0,05	а= 0.025	<ar=o,oi	а= 0.005	V
	8,034	8.897	10.283	11,591	32,671	.35.479	38,932	41.401
	8,643	9,542	10,982	12.338	33,924	36,781	40,289	42.796
	9,260	10,196	11,689	13.091	.35.172	38.076	41,638	44,181
	9,886	10,856	12,401	13,484	36,415	39,364	42.980	45.558
	10,520	11.524	13.120	14,611	37.652	40,646	44.314	46,928
	11,160	12,198	13.844	15.379	38.885	41,923	45,642	48,290
	11,808	12,879	14,573	16,151	40,113	43.194	46,963	49.645
	12,461	13.565	15.308	16.928	41.337	44.461	48,278	50.993
	13,121	14,256	16.047	17,708	42,557	45.772	49,588	52.336
	13,787	14.953	16.791	18.493	43,773	46,979	50.892	53.672

Эта таблица с разрешения администрации Biometrika основана на табл. 8 из Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ЧАСТИЧНЫЕ ОТВЕТЫ К НЕКОТОРЫМ УПРАЖНЕНИЯМ

ГЛАВА 1

УПРАЖНЕНИЯ 1.1

4. с) 17 минут.

ГЛАВА2

УПРАЖНЕНИЯ 2.1

1. а) -ж, + х₂> 1.

с) jc, - х₂ < 0.

е) 0,5л:, - 0,5jc₂>0. 3. 4 тонны в день.

УПРАЖНЕНИЯ 2.2.1

1. а) и е). См. рис. ГЛ.

2. a)nd). См. рис. Г.2.

(а)

(а)

Рис. Г.1 Рис. Г.2

5. На игру отводится 4 часа, на учебу — 6 часов, г = 14.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ 2.2.2

2. Оптимальное решение: jc, = 450, х₂ — 350, z — 450 долл.

5. Пусть jc, — количество нефти, получаемой из Ирана (тыс. баррелей в день), х₂ — количество нефти, получаемой из Дубай (тыс. баррелей в день). Задача ЛП:

минимизировать z = x, -¹- х₂ при ограничениях

-0,6*, + 0,4х₂<0,

0,2;^ + 0,1х₂> 14,

0,25*^ +0,6;t₂ > 30,

ОДх, + 0,15х₂> 10,

0,15х, +0,lx₂>8,

jc,, x₂>0.

Оптимальное решение: x, = 55, x₂ = 30, z = 85.

УПРАЖНЕНИЯ 2.3.1

1. b) -1 <c,/c₂< 2/3. См. рис. Г.З.

3' 2 1

0 1' 2" 3 x_x Рис. Г.Л

2. Пусть х, — количество закупаемых банок колы А1, х₂ — количество заку­паемых банок колы В&К. Задача ЛП:

максимизировать z — х, + х_г при ограничениях

х₁+х.₂< 500, 2х, - х₂ < 0, х, > 100, х_х, х₂ > 0.

a) х, - 100, х₂ = 400, z = 33 долл.

b) Представим ограничение jc, > 100 в виде lim(x,-8х_?)> 100. Тогда

lim — < — <- или -°° < с, Ic < 1. См. рис. Г.4.

>о -6 <\ 1 ¹²

7. Пусть х, — количество произведенных упаковок томатного сока, х₂ — коли­чество произведенных упаковок томатной пасты. Задача ЛП:

максимизировать z = 18х, + 9х₂ при ограничениях

24х, + 8х₂< 60000, jc, < 2000, х_г< 6000, х„ х₂> 0.

a) х, — 500, х₂ = 6000, z = 63 тыс. долл.

b) 0 < с,/с₂ < 3, с₂ / 0. См. рис. Г.5.

Глава 2

УПРАЖНЕНИЯ 2.3.2

1. Пусть х₁ — количество произведенных шляп первого типа, х_г — количество произведенных шляп второго типа. Задача ЛП:

максимизировать г = 8л:, + 5х₂ при ограничениях

2х_г +х₂< 400, х₁ < 150, х₂< 200, х_г, х₂>0.

a) См. рис. Г.6. х, = 100, х₂ = 200, z = 1800 долл. в точке В.

b) Стоимость возрастания производства на одну шляпу второго типа состав­ляет 4 долл. в интервале (200, 500).

c) Стоимость возрастания предельного спроса на одну шляпу первого типа составляет 0 долл. в интервале (100, <=■=•).

d) Стоимость возрастания предельного спроса на одну шляпу второго типа составляет 1 долл. в интервале (100, 400).

А = (0, 200)

Л = (100, 200) оптимум С =(150, 200) £> = (150, 100) £ = (150, 0) F= (0,400)

Пусть х, — количество минут рекламы по радио, х₂ — количество минут рекламы на телевидении. Задача ЛП:

максимизировать z = х, + 25х₂ при ограничениях

15л:, + 300х₂ < 10 000, -я, + 2х₂ < 0, х, < 400, х_х,х_г> 0.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

a) jc, = 60,61, х₂ = 30,3, 2 = 818,18.

b) Стоимость единицы месячного лимита на рекламу по радио составляет 0 в интервале (60,61, °°).

c) Стоимость 1 долл. бюджета составляет 0,082 в интервале (0, 66000).

8. Пусть jc, — количество произведенного средства А, х_г — количество произ­веденного средства В. Задача ЛП:

максимизировать г = 8jc, + 10jc₂ при ограничениях

0,5*, + 0,5jc₂ < 150, 0,6jc, + 0,4jc₂ < 145,

30 < jc, < 150, 40 < х₂ < 200, х₂ > 0.

a) jc, = 100, х₂ = 200, г = 2800 долл.

b) Стоимость единицы сырья I составляет 16 долл. в интервале (115, 154,17). Стоимость единицы сырья II составляет 0 долл. в интервале (140, <=■=>).

УПРАЖНЕНИЯ 2.4

1. а) Один дополнительный фунт муки стоит 55 центов.

b) Общая стоимость пищевой добавки, производимой за день, равна 495 долл.

c) Текущее решение останется оптимальным.

УПРАЖНЕНИЯ 2.5

1. Ь) Чистая прибыль банка составит 0,936 млн. долл. 4. а) Потери бумаги составят 1150 кв. футов.

b) Возможны варианты разрезки (3, 0, 0), (1, 1, 0) и (1, 0, 1) с соответствую­щими потерями на один фут 0, 3 и 1.

c) Количество стандартных рулонов уменьшится на 30.

6. а) Пусть jc, — количество произведенного за неделю желтого сахара (тонны), х₂ — количество произведенного за неделю белого сахара (тонны), jc₃ — количество произведенной за неделю сахарной пудры (тонны), jc₄ — ко­личество произведенной за неделю мелассы (тонны). Задача ЛП:

максимизировать z = 150л;, + 200jc₂ + 230jc₃ + 35jc₄ при ограничениях

0,76*, + 0,95х₂ + х₃ < 912, jc, > 25, х₂ > 25, х₃ > 25, 0 < x_t < 400.

Оптимальное решение: jc, = 25, jc₂ = 25, х₃ = 869,25, jc₄ = 400, г = 222 677,50 долл.

Ь) Стоимость тонны сиропа составляет 55,94 долл. в интервале (187,15, оо).

9. а) Обозначим через я сумму инвестиций в проект г, i = 1, 2, 3, 4, через у₁ —

сумму денег, положенную в банк в у'-м году, j =1,2,..., 5. Задача ЛП:

максимизировать z = у₅ при ограничениях jc, + *₂ + jc₄ + (/,<10 000,

0,5jc, + 0,6jc₂ - jc₃ + 0,4jc₄ + 1,065г/, - y₂ = 0, 0,3x, + 0,2jc₂ + 0,8jc₃ + 0,6x_t + l,065j/₂ - y₃ = 0, 1,8jc, + l,5x₂ + l,9x₃ + 1,8jc₄ + l,065t/₃ - y₄ = 0,

Глава 3

1,2л:, + 1,3х₂ + 0,8*3 + 0,95x_t + 1,065(/₄ - у_ь = 0,

л-„л-₂, х₃, x_t,y_vy_z, у₃, y_t>0.

Оптимальное решение: х_х = 0, х₂ = 10 ООО долл., х₃ = 6000 долл., x_t = 0, (/, = 0, у₂ = 0, (/₃ = 6800 долл., у₄ = 33 642 долл., г = 55 628,73 долл. на начало 5-го года.

b) Доходность инвестиций составляет 5,36%.

c) Сумма, которая будет получена в конце 5-го года, уменьшится на 1000x0,373 = 3730 долл.

12. а)

максимизировать г = 30л^-, + 20х₂ + 50х₃ при ограничениях 2л:, 4- Зл-₂ + 5л-₃ < 4000, 4л-, + 2л-₂ + 7л-₃ < 6000, л-, + 0,5л-₂ + 0,33*3 < 1500, 2л-,-Зл-₂ = 0, 5л-₂ - 2л"₃ = 0, л-, > 200, *₂ > 200, х₃ > 150. Оптимальное решение: *, = 324,32, х₂ = 216,22, х₃= 540,54, г — 41081,08 долл.

b) Нецелесообразно, поскольку двойственная цена материала А составляет 10,27 долл.за единицу.

c) Нет, поскольку двойственная цена материала В равна нулю.

15. а) Следует вложить 100 000 долл. в проект А в первом году и 170 000 долл. в проект В во втором году. Ь) Один доллар инвестиций приносит 5,10 долл. в конце срока инвестирования.

ГЛАВА3

УПРАЖНЕНИЯ 3.1.1

1. 2 тонны в день сырья Ml и 1 тонну в день сырья М2.

4. Обозначим как x_t) количество изделий i, произведенных на станке i = 1, 2; /' = 1, 2. Получаем задачу ЛП:

максимизировать г = 10(*,, + *,₂) + 15(х₂, + л:₂₂) при ограничениях

ЛГ,, "Ь x₂, Х,₂ ^х22 ^1

л₂₂ о₂ и,

х_и + x_2l +s₃ = 200, л-,₂ + *₂₂ + s_t = 250, все переменные х_ц и s, неотрицательны.

УПРАЖНЕНИЯ 3.1.2

2. Обозначим через x_t количество произведенной продукции i, i = 1, 2, 3. Полу­чаем задачу ЛП:

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

максимизировать г = 2л:, + 5х₂ + Зх₃ - 15 л, -10.*, при ограничениях

2л-, +х₂ + 2х₃ + s; - = 80,

х_г + х₂ + 2х₃ + 5,* - s~₂ = 65,

все переменные неотрицательные. Оптимальное решение: л:, = 0, х₂ = 65, остальные переменные равны 0, г = 325.

УПРАЖНЕНИЯ 3.2

1. е)л-, = 6/7, л\, = 12/7, г = 48/7.

е) л:, = 0, х₂ = 3 и х_х = 6, х₂ = 0. 4. Недопустимые базисные решения:

(л-,, х₂) = (26/3, -4/3), (л-,, х₃) = (8, -2),

(л-,, х₄) = (6, -4), (л-₂, х_г) = (16, -26),

(л-₂, х₄) = (3, -13), (х„ л-₄) = (6, -16).

УПРАЖНЕНИЯ 3.3.1

3. а) Только пара (А, В). Остальные пары состоят из угловых точек, которые не являются смежными.

Ь) Только последовательность (i). В других последовательностях присутст­вуют или две последовательные угловые точки, которые не являются смежными, или осуществляется возврат к пройденной угловой точке.

УПРАЖНЕНИЯ 3.3.2 1.

Базисная переменная	х1	х2	хЗ	х4
Значение	1,5			0,8
Исключаемая переменная	х7	х7	х8	х5

6. Ь) Значение г могут увеличить переменные л:₂, х_ъ и х₆. Если в базис вводится переменная л:₂, тогда Дг = +20. Если вводится переменная л:₅, тогда Аг = 0. Если переменная х₆ — Аг = °°.

УПРАЖНЕНИЯ 3.4.1

3. а) 2 = (8М - 4)л-, + (6М - 1)л-₂ - Ms₂ - Ms₃ = ЮМ.

b) 2 = (ЗМ - 4)л-, + (М - 1)л-₂ = ЗМ. 6. Начальная симплекс-таблица:

Базис	х1	х2	хЗ	х4	Решение
z	-1	-12			-8
хЗ
х4

Глава 4

УПРАЖНЕНИЯ 3.4.2

1. а) Сумма значений искусственных переменных — это мера "недопусти­мости" решения. Поэтому сумма значений искусственных переменных всегда минимизируется.

7. Никакая базисная переменная, имеющая положительный коэффициент в г-строке в конце первого этапа, не может принять положительное значение на вто­ром этапе, поскольку тогда значение целевой функции на первом этапе должно быть положительным, что указывает на недопустимость решения на этом этапе.

УПРАЖНЕНИЯ 3.5.1

1. a) A->£->C->D.

b) В точке А — одна итерация, в точке В — одна итерация, в С — три, в D — тоже одна.

УПРАЖНЕНИЯ 3.5.2

1. Альтернативные оптимальные базисные решения: (0,0, 10/3), (0, 5,0) и (1,4, 1/3). Альтернативные оптимальные небазисные решения: (а₂, бОд, (10/3)01, + За₂), а, + а₂ + а₃ = 1, все a_t > 0.

УПРАЖНЕНИЯ 3.5.3

1. а) Пространство решений не ограничено в направлении оси х₂.

2. Ь) Целевая функция не ограничена, поскольку коэффициент при переменной х₂

в выражении целевой функции положителен.

УПРАЖНЕНИЯ 3.5.4

1. Это требование удовлетворить нельзя — можно произвести не более 275 еди­ниц изделий.

ГЛАВА 4

УПРАЖНЕНИЯ 4.1

2. Пусть (/,, у₂иу₂ — переменные двойственной задачи.

Максимизировать из = 3(/, + Ьу₂ + 4у₃ при ограничениях у, + 2у₂ + 5(/₃ < 5, 2у, - 4у₂ + у, < 12, (/, > 0, у₂ > 0, у₃ не имеет ограничения в знаке.

4. с) Пусть (/, и у₂ — переменные двойственной задачи.

Минимизировать w = 5(/, + 6у₂ при ограничениях 2(/, + 3j/₂ = 1, (/, - у₂ = 1, г/, и у₂ не имеют ограничений в знаке.

5. Ограничение двойственной задачи, соответствующее искусственной пере­менной, имеет вид у₂>-М. Последнее неравенство эквивалентно условию, что переменная у₂ не ограничена в знаке.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ 4.2.1

1. а) Операция AV, недопустима, е) V₂A = (-14-32).

УПРАЖНЕНИЯ 4.2.2

2. а) Обратная матрица =

'loo

^А-. о

-I о.

з

УПРАЖНЕНИЯ 4.2.3

2. Пусть (/, и у₂ — переменные двойственной задачи.

Минимизировать w = ЗОг/, + 40(/₂ при ограничениях </, + у_г > 5, 5</, - Ъу₂ > 2, 2</, - 6</₂ > 3, </, > -М, у₂ > 0. Решение: (/, = 5, у₂ = 0, w = 150.

3. а) Пусть </, и j/₂ — переменные двойственной задачи.

Минимизировать w = 3(/, + 4г/₂ при ограничениях (/_t + 2у₂ > 1, 2г/, - г/₂ > 5, (/, > 3, г/₂ не ограничена в знаке. Ь) Решение: (/, = 3, у₂ = -1, и; = 5.

УПРАЖНЕНИЯ 4.2.4

1. а) Проверка допустимости: {х₂, х₄) = (3, 15) => решение допустимо.

Проверка оптимальности: коэффициенты при х₂ и х₄ в 2-строке симплекс-таблицы равны соответственно 0 и 2 => решение оптимально.

7. a) b, = 30, Ь₂ = 40.

Ь) а = 23, b = 5, с = -10, d = 5, е = 0.

УПРАЖНЕНИЯ 4.2.5

2. а) Решения прямой и двойственной задач не допустимы. Ь) Решения допустимы, но не оптимальны.

УПРАЖНЕНИЯ 4.3.1

2. Пусть jc,, х₂, х_ъ и х₄ — объемы ежедневного производства кабелей четырех типов. Задача ЛП:

максимизировать г = 9,4*, + 10,8*₂ + 8,75*₃ + 7,8*₄

при ограничениях

10,5*, + 9,3*₂ + 11,6*₃ + 8,2*₄ < 4800, 20,4*, + 24,6*₂ + 17,7*з + 26,5*₄ < 9600, 3,2*, + 2,5*₂ + 3,6*₃ + 5,5*₄ < 4700,

Глава 4

Ьх_л + 5х, + + Ъх_х < 4500, x, > 100, х₂ > 100, х_г > 100, х₄ > 100. Оптимальное решение: х_х = 100, х₂ = 100, х₃ = 138,42, х₄ = 100, 2 = 4011,16.

b) Только для пайки можно увеличить ежедневный фонд времени, посколь­ку соответствующая двойственная цена положительная (= 0,4944).

c) Двойственные цены отрицательные или нулевые. Поэтому компании не вы­годно выполнение требования заданного минимального уровня производства.

УПРАЖНЕНИЯ 4.3.2

2. Производство новой игрушки прибыльно, так как соответствующая приве­денная стоимость равна у_х + Зу₃ - 4 = -2.

УПРАЖНЕНИЯ 4.4.1

1. а) Нет, поскольку точка £ соответствует допустимому решению — в двойст­венном симплекс-методе промежуточные решения должны быть недопус­тимыми, пока не будет достигнуто оптимальное решение.

4. с) Добавляется ограничение х_х < М. Задача не имеет допустимого решения.

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.1

4. Пусть Q обозначает еженедельный объем корма. Оптимальное решение: из­вестняк = 0,028Q, зерно = 0.649Q, соевая мука = 0,323Q. Стоимость = = 0,81221Q.

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.2

1. a) -20<D₂<400,D₃>-20.

5. а) Дефицитные ресурсы: резисторы и конденсаторы. Микросхемы не явля-

ются дефицитным ресурсом.

b) Стоимости одного резистора, одного конденсатора и одной микросхемы составляют соответственно 1,25, 0,25 и 0 долл.

g) Прибыль возрастет на 250 долл., дополнительные затраты равны 200 долл., чистая прибыль составит 50 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.3

1. а) Новое ограничение Ах_х + х₂ + 2х₃ < 570 избыточно.

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.4

2. а) Текущее решение остается оптимальным.

c) Новое решение: х_х = 2, х₂ = 2, х₃ = 4, г = 14.

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.5

2. Ь) Оптимальное решение не изменится.

d) Новое решение: = 10, х._г = 102,5, х₃ = 215, г = 665.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

6. Ь) Наименьший удельный доход от первого продукта, сохраняющий текущее оптимальное решение, равен 6 долл.

с) Новое решение: х_х = 0, х₂ = 165, х₃ = 10, г = 4105.

9. а) 1,25-0,25(1,+ 0,5d₂>0, 0,25 + 0,75d, - 0М_г>0.

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.6

1. 42,86%.

3. а) Производство новой модели (модели пожарной машины) экономически не выгодно.

ГЛАВА 5

УПРАЖНЕНИЯ 5.1

4. Надо назначить очень высокую стоимость М перевозок от Детройта до фик­тивного пункта назначения.

6. а) и Ь) Следует положить М — 10 000. Общая стоимость равна 49 710 долл. Решение показано в следующей таблице.

							Предложение
Станция 1
Станция 2
Станция 3
Внешняя сеть				м
Спрос
9. Решение (в млн. галлонов) показано в таблице. Бензохранилище 2 недополу­чит 2 млн. галлонов. Общая стоимость равна 304 000 долл.
	Бх1		Бх2		БхЗ		Предложение
Завод 1					м
Завод 2
Завод 3					б
Фиктивный завод	м
Спрос

Глава 5 869

УПРАЖНЕНИЯ 5.2

2. Общая стоимость равна 804 долл.

Рабочий	Новые	Ночная	2-дневная	3-дневная	Остаток
день	полотна	заточка	заточка	заточка
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
Воскресенье

5. Оптимальное решение: в первый месяц следует произвести 500 тонн продук­ции, из которых 100 тонн предназначены для покрытия спроса второго ме­сяца; во второй месяц — 600 тонн продукции, из которых 200 тонн предна­значено на покрытие спроса третьего месяца и 180 тонн — на покрытие спроса четвертого; в третий месяц следует произвести 200 тонн продукции; в четвертый также будет произведено 200 тонн продукции. Общая стоимость производства равна 190 040 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 5.3.1

1. а) Метод северо-западного угла: х_п = 5, х_п = 1, х_гг = 4, х₂₃ = 3, х₃₃ = 7, стои­мость = 42 долл. Метод наименьшей стоимости: х_и = 5, я_1Э=1, х₂₂ = 5, x₂₃ = 2, х₃₃ = 7, стоимость = 37 долл. Метод Фогеля: такое же начальное решение, как и в методе наименьшей стоимости.

УПРАЖНЕНИЯ 5.3.2

5. а) Стоимость равна 1475 долл. Ь) с₁₂>3,с₁₃>8,_С23>13,с₃₁>7.

УПРАЖНЕНИЯ 5.4

5. Билет 1: отправка из Далласа 3 июня, возвращение 28 июня. Билет 2: от­правка из Атланты 7 июня, возвращение 10 июня. Билет 3: отправка из Ат­ланты 12 июня, возвращение 17 июня. Билет 4: отправка из Атланты 21 ию­ня, возвращение 25 июня. Стоимость билетов 1180 долл. Задача имеет альтернативные решения.

6. Оптимальное размещение: станок 1 — место d, станок 2 — место с, ста­нок 3 — место а, станок 4 — место Ь.

УПРАЖНЕНИЯ 5.5

4. Общая стоимость равна 1550 долл. Решение показано в следующей таблице. Задача имеет альтернативное оптимальное решение.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3
Фабрика 1
Фабрика 2

ГЛАВА6

УПРАЖНЕНИЯ 6.1

1. а) 1-3-4-2. Ь) 1-5-4-3-1. с) 1-3-4-5-1. d) См. рис. Г.7. е) См. рис. Г.7.

Остовное дерево

4. Цифры 1 и 8 должны обязательно располагаться в центральных квадрати­ках. Задача имеет несколько решений (рис. Г.8).

Рис. Г.8

УПРАЖНЕНИЯ 6.2

2. а) 1-2-5-6-4-3 или 3-1-2-5-6-4. Общая длина составит 14 миль.

5. Платформы с высоким давлением газа: 1-2-3-4-6. Платформы с низким давлением газа: 1-5-7 и 5-9-8. Общая длина составит 53 мили.

УПРАЖНЕНИЯ 6.3.1

1. Замена автомобилей должна произойти в 2001 и 2004 годах. Общая стои­мость равна 8900 долл. (рис. Г.9).

Рис. Г.9

Глава 6

5. Для каждой дуги, соединяющей узлы (i, v) и (i + 1, v_M), следует определить ве­личины p(q) — необходимость в баллах (число вещей i). Решение: надо взять по одной вещи 1 и 2. Значение необходимости равно 80 баллов (рис. Г.10).

Рис. Г. 10

УПРАЖНЕНИЯ 6.3.2

1. с) 4-5-6-8 или 4-6-8, длина обоих маршрутов равна 8.

УПРАЖНЕНИЯ 6.3.3

1. а) 5-4-2-1, длина маршрута равна 12. 3. Связь между районами 1 и 2: маршрут 1

Связь между районами 1 и 4: маршрут 1

Связь между районами 1 и 5: маршрут 1

УПРАЖНЕНИЯ 6.3.4

1. а) Оптимальное решение: 1-3-4-5, длина маршрута равна 90.

УПРАЖНЕНИЯ 6.4.1

1. Разрез 1: (1, 2), (1, 4), (3, 4), (3, 5), пропускная способность разреза равна 60. УПРАЖНЕНИЯ 6.4.2

1. а) Величина неиспользованных пропускных способностей через дугу (2, 3) равна 40, через дугу (2, 5) — 10, через дугу (4, 3) — 5, через остальные дуги равна нулю.

b) Величины потоков, проходящих через узлы 2, 3 и 4, равны соответствен­но 20, 30 и 20 единиц.

c) Нет, поскольку в этой сети "узким местом" являются дуги, исходящие из узла 1.

-3-2, длина маршрута = 500 миль. -3-2-4, длина маршрута = 700 миль. -3-5, длина маршрута = 800 миль.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

7. Максимальное количество таких распределений работ равно 4. Одно из рас­пределений работ: Ральф — работа 3, Мэй — работа 1, Бен — работа 2, Ким — работа 5, Кен остается без работы.

УПРАЖНЕНИЯ 6.5.1

1. См. рис. Г.11.

[430] [-100] [-110] [-95] [-125] Рис. Г.11

УПРАЖНЕНИЯ 6.5.2

1. Задача ЛП до исключения нижних границ пропускных способностей дуг: минимизировать г = х₁₂ + 5х₁₃ + Зх₂₄ + 4х₃₂ + 6x_Si при ограничениях

*,₂+*13⁼⁵°. ~^Х\2 ^X2i ~ ^Х32 * ^—40, -*18 ^{+ Х}Ъ2 ⁺ *34 = 20, ~^Х21 ~ ^ХМ ~ "SO,