Output Summary 11 страница

3. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989.

ЗАДАЧИ

А.1. Покажите, что следующие векторы являются линейно-зависимыми.

А.2.

А.З. А.4.

А.5.

			'-2>		(Г
а)	-2	>			-2
	, з,		-2J		-1
			' 4Ч
	-3		-6
Ь)		t
	, 5,
Для данных матриц
	'\		9^			'1	-1 2^
А =			-8	и	В =		4 8
	,з		2,			,з	6 10,

найдите

a) А + 7В;

b) 2А-ЗВ;

c) (А + 7В)^Г.

Для матриц из задачи А.2 покажите, что АВ * ВА. Даны блочные матрицы

А =

'\
	-6
,4

И В:

2 3

1 2 3 1 -4 5^

6 7 0 9

Найдите произведение АВ, используя блочную структуру матриц.

Для матриц из задачи А.2 найдите А"¹ и В^-1

a) методом присоединенной матрицы,

b) методом последовательных исключений,

Приложение А. Краткий обзор теории матриц

c) используя мультипликативное представление обратных матриц,

d) методом блочных матриц. А.6. Даны матрицы

В =

(2 О 4

		_У
-1
	2,

Предположим, что в матрице В третий вектор-столбец Р₃ заменяется на век­тор-столбец V₃ = Р, + 2Р₂. В этом случае полученная матрица будет вырож­денной. Покажите, как с помощью мультипликативного представления об­ратной матрицы можно обнаружить вырожденность исходной матрицы.

А.7. С помощью мультипликативного представления обратной матрицы опреде­лите, какая из следующих систем уравнений имеет единственное решение, не имеет решения или имеет бесконечно много решений.

a) jcj + 2x₂ = 3, ж, + 4*2 = 2.

b) х_х + 2х_г = 5, -jc, - 2х₂ = -5.

c) х_г+х₃ = 5, 4х, + х₂ + Зл;₃ = 8, ж, + Зл:₂ - 2х₃ = 3.

А.8. Проверьте правильность формул вычисления обратных матриц с блочной структурой, приведенные в подразделе А.2.7.

А.9. Найдите матрицу, обратную к матрице

где В — невырожденная матрица.

АЛО. Покажите, что следующая квадратичная форма является отрицательно оп­ределенной.

Q(x_t, х,) = 6х, + Зх, - 4х,х, - 2х,² - Зх;.

А.11. Покажите, что следующая квадратичная форма является положительно определенной.

2(х,,х,,х₃) = 2xj" +2x1 + 3х₃ + 2х,х, +2х,х₃. А.12. Покажите, что функция f(x) = е" строго выпукла на всей действительной оси. А. 13. Покажите, что квадратичная форма

/(х,,х,,х₃) = 5xf +5х₃ +4х₃ +4х,х, + 2х,х₃.

является строго выпуклой. А.14. В условиях задачи А. 13 покажите, что функция-f(x_v х₂, х₃) строго вогнута.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

TORA.КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ

Программная система оптимизации TORA — это Windows-приложение, в кото­ром реализовано большинство алгоритмов, рассматриваемых в этой книге. Досто­инством этой программы является то, что ее можно использовать как в режиме обучения, так и в автоматическом режиме. Режим обучения (пошаговый режим выполнения вычислений) чрезвычайно полезен, поскольку в этом режиме можно разобраться в работе самого алгоритма. При этом не нужно вручную выполнять ог­ромное количество утомительных вычислений, которые лежат в основе большин­ства алгоритмов исследования операций.

TORA является самодостаточной системой, в том смысле, что все инструкции и пояснения, необходимые для работы с этой программой, заключены в названиях пунктов меню, командных кнопок, опций и других элементов управления. TORA не имеет руководства пользователя, поэтому в этом приложении будут кратко опи­саны основные средства данной системы оптимизации.

Система TORA может работать только с разрешением экрана 800x600 или 1024x768 пикселей. Желательно, чтобы было установлено разрешение 1024x768 пикселей, поскольку в этом случае размещение элементов управления будет более удобным и пропорциональным.

Б.1. ГЛАВНОЕ МЕНЮ

На рис. Б.1 показано Main Menu (главное меню) программы. После выбора како­го-либо элемента из этого меню появится новое окно, в котором нужно будет вы­брать режим ввода исходных данных решаемой задачи.

Linear Equations ► Linear Programming Transportation model Integer programming Network models ► Project Planning ► Queuing analysis Zero-5um Games

EXIT TORA

Рис.Б.1. Главное ме­ню системы TORA

850 Приложение Б. TORA. Краткое описание

Б.2. РЕЖИМ ВВОДА ДАННЫХ И ФОРМАТЫ ЧИСЕЛ

В окне задания режима ввода данных (рис. Б. 2) определяются два параметра ввода.

Рис. Б.2. Окно задания режима ввода данных

1. Можно выбрать, следует ли ввести новый набор данных для решаемой задачи (выбрано по умолчанию) или загрузить данные из файла, ранее созданного в программе TORA.

2. Можно определить формат чисел (десятичный или экспоненциальный), а так­же установить точность вводимых данных.

Код десятичного формата (установлен по умолчанию) выглядит как NNNNN.DD, тогда как код экспоненциального формата выглядит как N.NNNNNeDD. По умолча­нию установлено пять разрядов для целой части числа (код N) и два разряда для дробной части числа (код D). Количество разрядов можно изменить на любое другое (разумное) число.

Б.З. ОКНО ВВОДА ДАННЫХ

В левой верхней части окна ввода данных (рис. Б.З) вводятся параметры решае­мой задачи. В зависимости от значений введенных параметров может измениться таблица ввода данных, расположенная в средней части экрана. Также вид таблицы ввода данных зависит от выбранной в главном меню модели (например, вид табли­цы для задачи линейного программирования отличается от вида таблицы для транспортной модели). Изменить таблицу ввода данных можно такими же спосо­бами, какими настраивается внешний вид рабочего листа электронных таблиц.

Можно вставлять и удалять столбцы или строки, а также копировать и вставлять их содержимое. Для этого сначала щелкните на заголовке требуе­мого столбца или строки. Затем из меню EditGrid (Редактировать таблицу) выбе­рите нужную команду. Все команды меню можно выполнить с помощью комбинаций

Б.4. Меню Solve/Modify

клавиш <CTRL+I>, <CTRL+D>, <CTRL+C> и <CTRL+P>, которые выполняют встав­ку и удаление столбца или строки и копирование и вставку скопированного со­держимого соответственно. Любую операцию можно отменить, нажав комбина­цию клавиш <CTRL+U>.

■ДшШИМИДИИШи- ™ ^1L<

__

____ _ 1 tHFAJt pRQQHIWMIHr, ______ _

EdRmo Grid

»CNck Maxmzo0Mrniz«)-c«l to changr It to Nntnin(MBdmin)»To DELETE, MSERT, COPY, or PASTE ■ cotumnfrow), cock IWMfeng

con of (argot cotumnirow}, thin люк* pull down EdiGrrd menu?*For INSERT mod*. ■ ingto(doubte) chck of tarof* rowJcotumn wM

pfaca new romJcotumn attorflMfore) target ronMcofcjmn

INPUT isRID LINEAR PROGRAMMING

Pwc. Б.З. Окно ввода данных

После ввода всех данных щелкните на кнопке Solve Menu (Решить). На экране появится окно с запросом, следует ли сохранить данные. Если нужно, сохраните данные. После этого на экране появится меню Solve/Modify (Решить/изменить).

Nbr of Variables \ No ot Constraints |

Б.4. МЕНЮ SOLVE/MODIFY

Меню Solve/Modify, показанное на рис. Б.4, содержит команды, которые исполь­зуются для решения выбранной задачи. Важной особенностью системы TORA яв­ляется то. что она позволяет проводить вычисления в автоматическом режиме или в режиме пошагового выполнения. Чтобы решить задачу в последнем режиме, вы­берите в подменю Solve Problem (Решить задачу) команду Iterations (Итерации), а затем метод решения задачи.

Если нужно просмотреть или внести изменения в исходные данные, выберите команду View/Modify Input Data (Просмотреть/изменить исходные данные). В ре­зультате появится окно ввода данных.

Приложение Б. TORA. Краткое описание

1 Soke Problem > 1	Graphical j_
View/Modtfy Input Data I	ЮЯ2ЕЭИ Ftr,fi' —*ton '_
MAIN Menu Ext TORA	|| Iterations >	АН-slack starting solution j
	M-meth d Two-phase method Bounded simplex Dual simplex

Рис. Б.4. Меню Solve/Modify

Б.5. ФОРМАТ РЕЗУЛЬТАТА

В окне формата выходных результатов, которое показано на рис. Б. 5, можно ус­тановить точность, с которой будут выведены полученные результаты. Это окно очень похоже на окно режима ввода данных, которое было описано в разделе Б.2.

Рис. Б.5. Окно формата выходных ре­зультатов

Б.6. ВЫХОДНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В окне выходных результатов (в зависимости от решаемой задачи) результаты расчетов можно представить или графически или в текстовом виде (рис. Б.6 ирис. Б.7). Полученные результаты можно вывести на принтер, щелкнув на кноп­ке Write to Printer.

Б.6. Выходные результаты 853

Рис. Б.7. Выходные результаты в графическом виде

ПРИЛОЖЕНИЕ В

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Таблица В.1. Функция нормального распределения /-'(.-.)=-,= Г e'^rndt

ч/2тс ^J-

z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0.5359
0,1	0.5398	0.5438	0.5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0.5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0.6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0.7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0.7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0.7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0.7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0.8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0.9066	0,9082	0.9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0.9564	0,9573	0,9582	0,9591	0.9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0.9664	0,9671	0.9678	0,9686	0,9693	0.9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0.9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0.9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2.2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0.9875	0.9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890

Приложения В. Статистические таблицы

Окончание табл. В.1

Z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0.9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,991.3	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0.9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0.9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0.9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0.9982	0,9983	0.9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0.9987	0,9987	0,9988	0.9988	0.9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
ЗЛ	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0.9994	0.9994	0,9995	0,9995	0,9995
3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
3,4	0.9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0.9997	0,9997	0,9998
3.5	0,9998
4,0	0.99997
5,0	0,9999997
6,0	0.999999999
Источник: Miller I. and Freund J. Upper Saddle River, N. J., 1985.	. Probability and Statistics for Engineers, Prentice Hall,
Таблица B.2. Процентные точки распределения Стьюдента taV
V	«=0,10		а-=0,05		a =0,025		а =0,01	or= 0,005	V
	3,078		6,314		12,706		31,821	63,657
	1,886		2,920		4,303		6,965	9,925
	1.638		2,353		3,182		4,541	5,841
	1,533		2,132		2,776		3,747	4,604
	1,476		2,015		2,571		3,365	4,032
	1,440		1,943		2,447		3,143	3,707
	1.415		1,895		2.365		2,998	3,499
	1.397		1,860		2.306		2,896	3,355
	1,383		1,833		2,262		2.821	3,250
	1,372		1,812		2,228		2,764	3,169
	1,363		1.796		2,201		2,718	3,106
	1,356		1,782		2,179		2,681	3,055
	1,350		1,771		2,160		2.650	3.012
	1,345		1,761		2,145		2,624	2,977
	1,341		1,753		2,131		2,602	2,947
	1,337		1,746		2,120		2,583	2,921
17 18	1,333 1,330		1,740 1,734		2,110 2,101		2,567 2,552	2,898 2,878		17 18

Приложения В. Статистические таблицы

Окончание табл. В.2

V	«=0.10	а =0,05	а = 0,025	а=0,01	а =0,005	V
	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861
	1.325	1,725	2,086	2,528	2,845
	1,323	1,721	2,080	2.518	2,831
	1,321	1,717	2,074	2.508	2,819
	1,319	1,714	2,069	2.500	2,807
	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797
	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787
	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779
	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771
	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763
	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756
со	1,282	1,645	1.960	2,326	2,576	со

Данная таблица публикуется с разрешения Macmillan Publishing Co., Inc., взята из Statistical Methods for Research Workers, 14th ed., by R. A. Fisher. Copyright © 1970, Univer­sity of Adelaide.

Таблица В.З. Процентные точки распределения xl