Промежуточные вычислении 15 страница

Элементы модели динамического программирования таковы.

1. Этап i представляется порядковым номером года i, i = 1, 2, п.

2. Вариантами решения на /-м этапе (т.е. для /-го года) являются альтернати­вы: продолжить эксплуатацию или заменить механизм в начале /-го года.

3. Состоянием на <-м этапе является срок эксплуатации / (возраст) механизма к началу /-го года.

Пусть f{t) — максимальная прибыль, получаемая за годы от / до п при условии, что в начале /-го года имеется механизм r-летнего возраста. Рекуррентное уравнение имеет следующий вид.

Компания планирует определить оптимальную политику замены используемого в настоящее время трехлетнего механизма на протяжении следующих 4 лет (п = 4), т.е. вплоть до начала пятого года. Приведенная таблица содержит относящиеся к задаче данные. Компания требует обязательной замены механизма, который на­ходится в эксплуатации 6 лет. Стоимость нового механизма равна 100 000 долл.

где/„,,(.)==0.

Пример 10.3.3

10.3. Приложения динамического программирования

Возраст t (года)	Прибыль r(t) (долл.)	Стоимость обслуживания c(t) (ДОЛЛ.)	Остаточная стоимость s(t) (долл.)
	20 000		—
	19 000		80 000
	18 500		60 000
	17 200		50 000
	15 500		30 000
	14 000		10 000
	12 200		5 000

Определение допустимых значений возраста механизма на каждом этапе является нетривиальной задачей. На рис. 10.6 представлена рассматриваемая задача замены оборудования в виде сети. В начале первого года имеется механизм, эксплуати­рующийся 3 года (на графике рис. 10.6 по оси Y откладывается возраст механизма). Мы можем либо заменить его (3), либо эксплуатировать (С) на протяжении сле­дующего года. Если механизм заменили, то в начале второго года его возраст будет равен одному году, в противном случае его возраст будет 4 года. Такой же подход используется в начале каждого года, начиная со второго по четвертый.

1 2 3 4 5

Год принятия решения

Рис. 10.6. Схема возможной замены механизма для примера 10.3.3

Если однолетний механизм заменяется в начале второго или третьего года, то заме­нивший его механизм к началу следующего года также будет однолетним. К тому же, в начале 4-го года 6-летний механизм обязательно должен быть заменен, если он еще эксплуатируется; в конце 4-го года все механизмы продаются (77) в обязательном по­рядке. На схеме сети также видно, что в начале второго года возможны только меха­низмы со сроком эксплуатации 1 или 4 года. В начале третьего года механизм может иметь возраст 1, 2 или 5 лет, а в начале четвертого — 1,2,3 или 6 лет.

Глава 10. Детерминированные модели динамического программирования

Решение данной задачи эквивалентно поиску маршрута максимальной длины (т.е. приносящего максимальную прибыль) от начала первого года к концу четвер­того в сети, показанной на рис. 10.6. При решении этой задачи используем таблич­ную форму записи. (Числовые данные в таблице кратны тысячам долларов.)

Этап 4.

	С			Оптимум
t	KQ + s(f+1)-c(r)	КО) + s(f) +	■s(1)-c(0)-/	Щ	Решение
	19,0 + 60-0,6 = 78,4	20 +80 + 80 -	0,2-100 = 79,8	79,8
	18,5 + 50- 1,2 = 67,3	20 + 60 + 80 -	■0,2- 100 = 59,8	67,3	С
	17,2 + 30-1,5 = 45,7	20 + 50 + 80 -	-0,2-100 = 49,8	49,8
	Необходима замена	20 + 5 + 80 -	-0,2-100 = 4,8	4,8
Этап 3.
	С			Оптимум
t	К0-с(0 + М'+1)	КО) + s(0 -	с(0)-/+М1)		Решение
	19,0-0,6 + 67,3 = 85,7	20 + 80 - 0,2 -	100 + 79,8 = 79,6	85,7	С
	18,5-1,2 + 49,8 = 67,1	20 + 60 - 0,2 -	100 + 79,8 = 59,6	67,1	С
	14,0-1,8 + 4,8 = 17,0	20 + 10-0,2-	-100 + 79,8 = 9,6	17,0
Этап 2.
	С			Оптимум
t	/(0-c(0 + 6(f+1)	to) + s(0 -	с(0)-/+6(1)		Решение
	19,0-0,6 + 67,1 =85,5	20 + 80 - 0,2 -	100 + 85,7 = 85,5	85,5	С или 3
	15,5-1,7 + 19,6 = 33,4	20 + 30 - 0,2 -	100 + 85,7 = 35,5	35,5
Этап 1.
	С			Оптимум
t	n[t)-c({) + f2(t+,)	КО) + s{0 -	с(0)-/+6(1)	Щ	Решение
	17,2-1,5 + 35,5 = 51,2	20 + 50 - 0,2 -	100 + 85,5 = 55,3	55,3

На рис. 10.7 показана последовательность получения оптимального решения. В на­чале первого года оптимальным решением при / = 3 является замена механизма. Следовательно, новый механизм к началу второго года будет находиться в эксплуа­тации 1 год. При t = 1 в начале второго года оптимальным решением будет либо ис­пользование, либо замена механизма. Если он заменяется, то новый к началу третьего года будет находиться в эксплуатации 1 год, иначе механизм будет иметь возраст 2 года. Описанный процесс продолжается до тех пор, пока не будет опреде­лено оптимальное решение для четвертого года.

10.3. Приложения динамического программирования 461

м— Год 1 —мч— Год 2 —м*— Год 3 —►+»— Год 4 —м

Рис. 10.7. Решение примера 10.3.3

Следовательно, начиная с первого года эксплуатации механизма, альтернативны­ми оптимальными стратегиями относительно замены механизма будут (3, С, С, 3) и(3, 3, С, С). Общая прибыль составит 55 300 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.3

1. Постройте сеть и найдите оптимальное решение в задаче из примера 10.3.3 в каждом из следующих случаев.

a) В начале первого года имеется механизм, находящийся в эксплуатации 2 года.

b) В начале первого года имеется механизм, находящийся в эксплуатации 1 год.

c) В начале первого года куплен новый механизм.

2. Мой тринадцатилетний сын занимается собственным бизнесом — косит га­зоны десяти клиентам. Каждому клиенту он косит траву три раза в год, по­лучая за один скошенный газон 50 долл. Он купил косилку за 200 долл. На протяжении первого года затраты на содержание и использование косилки равны 120 долл., и через год они увеличиваются на 20%. Одногодичная ко­силка может быть продана за 150 долларов, и с каждым годом ее стоимость уменьшается на 10%. Мой сын планирует продолжить свой бизнес, пока ему не исполнится 16 лет, и считает, что более выгодно менять косилку через каждые два года. Он объясняет это тем, что цена новой косилки увеличива­ется за год лишь на 10%. Справедливо ли его решение?

3. Группа ферм владеет трактором двухлетней давности и планирует разрабо­тать стратегию его замены на следующие пять лет. Трактор должен эксплуа­тироваться не менее двух и не более пяти лет. В настоящее время новый трактор стоит 40 000 долларов, и эта цена за год увеличивается на 10%. Те­кущая годичная стоимость эксплуатации трактора составляет 1300 долларов и, как ожидается, будет увеличиваться на 10% в год.

a) Сформулируйте задачу в виде задачи о кратчайшем пути.

b) Постройте соответствующее рекуррентное уравнение.

c) Определите оптимальную стратегию замены трактора на следующие пять лет.

4. Рассмотрим задачу замены оборудования на протяжении п лет. Цена новой единицы оборудования равна с долларов, а стоимость продажи после / лет эксплуатации равна s(t) = n-t при п > t и нулю — в противном случае. Годич­ная прибыль от эксплуатации является функцией возраста оборудования / и равна r(t) = п - t² при п > t и нулю — в противном случае.

Глава 10. Детерминированные модели динамического программирования

a) Сформулируйте задачу как модель динамического программирования.

b) Определите оптимальную стратегию замены оборудования двухгодичной давности при с = 10 ООО долл., считая, что га = 5.

5. Решите задачу из предыдущего упражнения, предполагая, что возраст обо­рудования составляет 1 год и п = 4, с = 6000 долл., r(t) = п/(п + 1).

10.3.4. Задача инвестирования

Предположим, что в начале каждого из следующих га лет необходимо сделать инвестиции Р,, Р₂,Р_п. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: пер­вый банк выплачивает годовой сложный процент r_v а второй — г₂. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы. Премиальные меняются от года к году, и для /-го года равны q_n и qn в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются в конце года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые день­ги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находиться там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разрабо­тать стратегию инвестиций на следующие га лет.

Элементы модели динамического программирования таковы.

1. Этап i представляется порядковым номером года /, i =1,2,..., п.

2. Вариантами решения на i'-м этапе (для i'-го года) являются суммы /, и /, ин­вестиций в первый и второй банк соответственно.

3. Состоянием х, на i-м этапе является сумма денег на начало /'-го года, которые могут быть инвестированы.

Заметим, что по определению /. = х, - /,. Следовательно,

*. = Л.

Xi = Pi + qu.Ji-i + Яии(Хи ~ A.i) =

= Л + (<7;-i,i - Яии)1ц + <7/.i.2*i-i. где i = 2, 3, га. Сумма денег x_h которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протя­жении (i - 1)-го года.

Пусть f{x) — оптимальная сумма инвестиций для интервала от (-го до «-го года при условии, что в начале /-го года имеется денежная сумма х,. Далее обозначим через Si накопленную сумму к концу га-го года при условии, что // и (Xj - /,) — объе­мы инвестиций на протяжении /-го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая а, = (1 + г,), i= 1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.

Максимизировать г = s, + s₂ +... + s_n,

где

s, = /,<*'-''+(*,. -/,.)аГ'"'' = -сС'"')/, +аГ'"Ч, ' = 1.2,.... л -1,

s„ = (а, + <7„, - а₂ - q_n2)l„ + (а₂ + <7„₂)дг„.

Поскольку премиальные за га-й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для s„ добавлены q_ni и q„₂.

Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алго­ритме динамического программирования имеет вид

10.3. Приложения динамического программирования 463

/Л*Л=™*{*. + /,Лхш)}. i = l,2,....i-l.

где jfi+i выражается через jc, в соответствии с приведенной выше формулой, a/„₊i(*„₊i) = 0.

Пример 10.3.4

Предположим, вы хотите инвестировать 4000 долл. сейчас и 2000 долл. в начале каждого года, от второго до четвертого, считая от текущего года. Первый банк вы­плачивает годовой сложный процент 8% и премиальные на протяжении следую­щих четырех лет в размере 1,8, 1,7, 2,1 и 2,5% соответственно. Годовой сложный процент, предлагаемый вторым банком, на 0,2% ниже, чем предлагает первый банк, но его премиальные на 0,5% выше. Задача состоит в максимизации накоп­ленного капитала к концу четвертого года.

Используя введенные выше обозначения, имеем следующее.

Я, = 4 000 долл., P₂ = P_a = P_t = 2 000 долл.,

а,=(1 +0,08)= 1,08,

а₂ = (1 +0,078) = 1,078,

q_n = 0,018, _Чп = 0,017, _Чп = 0,021, q_n = 0,025,

<7₁₂ = 0,023, <7₂₂ = 0,022, <7₃₂ = 0,026, q_a = 0,030.

Этап 4.

где 5₄ = (а, + q_tl - а₂ - q_i2)I_t + (а, + q_i2)x_t = - 0,003/₄ + 1,108лг₄.

Функция 5₄ является линейной по /₄ в области 0</₄<д:₄, и, следовательно, ее макси­мум достигается при /₄ = 0 из-за отрицательного коэффициента при /₄. Следовательно, оптимальное решение для этапа 4 может быть представлено в следующем виде.

		Оптимальное решение
Состояние	14(х4)		Л"
х4	1,108x4

Этап 3.

где

5, = (1,08² - 1,0 78²)/_а+ 1,0 78²*₈ = 0,00432/,+ 1,162 1jc₃, x_t = 2000 - 0,005/₃ + 0,026jt₃.

Следовательно,

/₃(х_}) = max {0,оо432/3 + 1.162Ц +1,108(2000-0,005/₃ + 0,026х₃)} = = max {2216-0,00122/, + 1,1909*,}.

0S/,S.I, ^{L J}

464 Глава 10. Детерминированные модели динамического программирования

	Оптимальное решение
Состояние	№з)	ч
Хз	2216 + 1,1909хз

Этап 2.

/:W= maxjs₂+/₃l>₃)},

где

s₂ = (1,08³ - 1,078^а)/₂ + 1,078³х₂ = 0,006985/₂ + 1,25273х₂, х₃ = 2000 - 0,005/., + 0,022х₂.

Следовательно,

	max {0,006985/2 +1,2527х, + 2216 +1,1909(2000 - 0,005/2	+ 0,022*2)} =
=	max {4597,8 + 0,0010305/, +1,27893*,}. 0</,Sa, l j
	Оптимальное решение
Состояние	Ь(хг)	Ч
Хг	4597,8 + 1.27996X2	хг

Этап 1.

где

s, = (1,08⁴ - 1,078⁴)/, + 1,078⁴х, = 0,01005/, + 1,3504л:,, х₂ = 2000 - 0,005/, + 0,023х,.

Следовательно,

/,(*,) = max {0,01005/, +1,3504*, +4597,8 + 1,27996(2000 - 0,005/, +0,023*,)} = = max {7157,7 + 0,00365/, +1,37984*,}.

	Оптимальное решение
Состояние	m(Xi)
*1 = $4000	7157,7 + 1,38349x1	$4000

При вычислениях в обратном направлении получаем следующее.

х₂ = 2000 - 0,005 х 4000 + 0,023 х 4000 = 2072 долл., х₃ = 2000 - 0,005 х 2072 + 0,022 х 2072 = 2035,22 долл., x_t = 2000 - 0,005 х 0 + 0,026 х 2035,22 = 2052,92.

Следовательно, оптимальное решение будет записано следующим образом.

10.4. Проблема размерности

Год Оптимальное решение Решение, принимаемое инвестором Накопления

		= Х1	Инвестировать xi	= 4000 долл. в первый банк	.si = 5441,80 долл.
		= хг	Инвестировать Хг	= 2072 долл. в первый банк	S2 = 2610,13 долл.
		= 0	Инвестировать хз =	2035,22 долл. во второй банк	S3 = 2365,13 долл.
	Л"	= 0	Инвестировать х4 =	2052,92 долл. во второй банк	и = 2274,64 долл.
				Всего	12 691,70 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.4

1. Решите задачу из примера 10.3.4, предполагая, что r_t = 0,085, г₂ = 0,08. Кроме того, пусть Р, = 5000 долл., Р₂ = 4000 долл., Р₃ = 3000 долл. и Р₄ = 2000 долл.

2. Некий инвестор с начальным капиталом в 10 000 долл. должен решить в конце каждого года, сколько денег истратить и сколько инвестировать. Каждый инве­стированный доллар возвращает а = 1,09 долл. в конце года. Истраченные у дол­ларов на протяжении каждого года приносят удовлетворение, определяемое ко­личественно как эквивалент получения g{y)=\[y долларов. Решите задачу с помощью методов динамического программирования для периода в п = 5 лет.

3. Фермер имеет k овец. В конце каждого года он принимает решение, сколько овец продать и сколько оставить. Прибыль от продажи одной овцы в i-й год равна Количество овец в конце /'-го года удваивается к концу (/' + 1)-го года. Фермер планирует в конце п-то года полностью продать овец.

a) Получите общее рекуррентное уравнение для решения задачи.

b) Решите задачу при следующих данных: п = 3 года, к = 2 овцы, д, = 100 долл., р_г = 130 долл., р_г = 120 долл..

10.3.5. Модели управления запасами

Важной областью применения методов динамического программирования яв­ляются задачи управления запасами. В главах 11 и 16 рассмотрены некоторые за­дачи этого класса, при этом в главе 11 рассматриваются детерминированные моде­ли, а в главе 16 — стохастические.

10.4. ПРОБЛЕМА РАЗМЕРНОСТИ

Во всех рассмотренных выше задачах динамического программирования состоя­ние системы на любом этапе описывалось единственной переменной. Например, в за­даче о загрузке (раздел 10.3.1) вес предмета является единственным ограничением, которое учитывается при его погрузке. Вместе с этим объем судна также может быть ограничительной величиной. В этом случае говорят, что состояние системы явля­ется двухмерным, так как формируется двумя переменными: весом и объемом.

Увеличение числа переменных состояния системы влечет за собой увеличение объема вычислений на каждом этапе. Особенно это заметно в моделях динамиче­ского программирования при вычислениях с использованием таблиц, так как ко­личество строк каждой таблицы должно соответствовать всем возможным комби­

Глава 10. Детерминированные модели динамического программирования

нациям значений переменных состояния. Эти вычислительные трудности настоль­ко значительны в динамическом программировании, что в литературе на них ссы­лаются как на проклятие размерности.

Следующий пример приводится для иллюстрации проблемы размерности. Он также демонстрирует возможность решения задачи линейного программирования методами динамического программирования.

Пример 10.4.1

Предприятие обрабатывающей промышленности выпускает два вида продукции. Производственный процесс составляет 430 минут в день. Для производства едини­цы продукции первого вида требуется 2 минуты, а второго — 1 минута. На дневной объем производства продукции первого вида ограничений нет (кроме возможностей производственного процесса), максимальный ежедневный спрос на второй вид про­дукции равен 230 единиц. Реализация единицы продукции первого вида приносит прибыль в 2 долл., а второго— 5 долл. Необходимо найти оптимальное решение задачи максимизации прибыли методами динамического программирования.

Данная задача является следующей задачей линейного программирования.

Максимизировать г = 2х_х + 5х_г

при ограничениях

2jc, + х₂ < 430,

х₂<230,

x_vx₂>0.

Элементы модели динамического программирования таковы.

1. Этап / соответствует продукции /, /=1,2.

2. Альтернативой х, на i-м этапе является объем производства продукции (,/=1,2.

3. Состояние (v_b w_x) представляет количество ресурсов, необходимое для произ­водства продукции вида 1 и 2 (производственное время и ограничение на спрос) и используемое на этапах 1 и 2.

4. Состояние (v₂, w₂) представляет количество ресурсов, необходимое для произ­водства продукции вида 1 и 2 (производственное время и ограничение на спрос) и используемое на этапе 2.

Этап 2. Пусть /₂(v₂, w₂) представляет максимальную прибыль для этапа 2 (прибыль от выпуска продукции вида 2) при заданном состоянии (v₂, w₂). Тогда

/₂(v₂, w₂)= max {5x₂}.

Следовательно, max{5x₂} имеет место при x₂ = min{v₂, w₂). Имеем следующее реше­ние для второго этапа.

	Оптимальное решение
Состояние	f2(v2, w2)	x2
(v2, w2)	5 min{v2, w2}	min{v2, w2)

10.4. Проблема размерности

Этап 1.

f\(v\,^w\) ⁼ ₀^max {2*1 ⁺— 2л:,,w,)} = max [2x_i +5min(v,-2х,,w,)}.

Оптимизация на первом этапе требует решения минимаксной задачи, что в общем случае является достаточно сложным делом. Для рассматриваемой задачи имеем и, = 430 и w₁ = 230, что дает 0 < 2х, < 430. Так как min(430 - 2х,, 230) представляет собой нижнюю огибающую двух пересекающихся прямых (проверьте!), то

„„ „ [230, 0<х<100,

min(430-2x,,230) = \ ¹

¹ [430 - 2*,, 100<х, <215

и

[2х+1150, 0<х<100, /,(430,230)= тах{

^J1K * [-8*,+2150, 100<х,<215.

Графически можно легко проверить, что функция/,(430, 230) достигает максималь-

ного значения при х,	= 100. Итак, получаем следующее.
	Оптимальное решение
Состояние	Ши kvi)
(430, 230)

Для определения оптимального значения х₂ заметим, что

v₂ = v₁ - 2х, = 430 - 200 = 230, w₂ = w₁ - 0 = 230.

Следовательно,

х₂ = min{u₂, w₂) = 230. Итак, оптимальное решение имеет вид: х, = 100 единиц, х₂ = 230 единиц, г = 1350 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 10.4

1. Решите следующие задачи линейного программирования методами динами­ческого программирования.

a) Максимизировать г = 4х, + 14х₂ при ограничениях

2х, + 7х₂<21, 7х,+ 2х₂<21, х„х₂>0.

b) Максимизировать z = 8х, + 7х₂ при ограничениях

2х, + х₂ < 8, 5х, + 2х₂<15, х,, х₂ > 0 и целые.

Глава 10. Детерминированные модели динамического программирования

с) Максимизировать г = 7 х\ + 6х_г + 5 х; при ограничениях

х, + 2х₂ < 10, х₁-3х_г<9, x_v х₂>0.

2. Пусть в задаче из примера 10.3.1 о загрузке предметов п наименований огра­ничения самолета по весу и объему представлены величинами W и V соответ­ственно. Величины w_h v, и г, представляют соответственно вес, объем и при­быль, отнесенные к одному предмету наименования г. Необходимо записать рекуррентное уравнение обратной прогонки для алгоритма динамического программирования решения сформулированной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bertsekas D. Dynamic Programming: Deterministic and Stochastic Models, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1987.

2. Denardo E. Dynamic Programming Theory and Application, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1982.

3. Dreyfus S., Law A. The Art and Theory of Dynamic Programming, Academic Press, New York, 1977.

4. Sniedovich M. Dynamic Programming, Marcel Dekker, New York, 1991.

Литература, добавленная при переводе

1. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: ИЛ, 1960.

2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирова­ния. — М.: Наука, 1965.

3. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М.: Сов. радио, 1972.

4. Романовский И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1977.

КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА

10.1. Компания проверяет состояние оборудования в конце каждого года и на основании этого принимает следующее решение: либо использовать его еще один год, либо заменить. Однако оборудование, которое находилось в эксплуатации три года, подлежит замене в обязательном порядке. Ком­пания планирует разработать стратегию замены имеющегося оборудова­ния на следующие 10 лет. Соответствующая информация содержится в приведенной ниже таблице. Считается, что в начале первого года все оборудование новое.

Комплексная задача

Стоимость содержания (долл.) Стоимость продажи (долл.) для Год Стоимость для данного возраста (лет) данного возраста (лет)

покупки	покупки (долл.)
	10 000				9 000	7 000	5 000
	12 000				11 000	9 500	8 000
	13 000				12 000	11 000	10 000
	13 500				12 000	11 500	11 000
	13 800				12 000	11 800	11 200
	14 200				12 500	12 000	11 200
	14 800				13 500	12 900	11 900
	15 200				14 000	13 200	12 000
	15 500				15 500	14 500	13 800
	16 000				15 800	15 000	14 500

ГЛАВА 11

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Как в бизнесе, так и в производстве обычно принято поддерживать разумный запас материальных ресурсов или комплектующих для обеспечения непрерывно­сти производственного процесса. Традиционно запас рассматривается как неиз­бежные издержки, когда слишком низкий его уровень приводит к дорогостоящим остановкам производства, а слишком высокий — к "омертвлению" капитала. За­дача управления запасами — определить уровень запаса, который уравновешивает два упомянутых крайних случая.

Важным фактором, определяющим формулировку и решение задачи управле­ния запасами, является то, что объем спроса на хранимый запас (в единицу времени) может быть или детерминированным (достоверно известным), или вероятност­ным (описанным вероятностным распределением). В этой главе рассматриваются детерминированные модели управления запасами. Вероятностные модели (обычно более сложные) обсуждаются в главе 16.

11.1. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Природа задачи управления запасами определяется неоднократным размеще­нием и получением заказов заданных объемов продукции (в дальнейшем — хра­нимых запасов) в определенные моменты времени. С этой точки зрения стратегия управления запасами должна отвечать на следующие два вопроса.