Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рассмотрим на примере линейного распространения тепла в стержне с площадью сечения F, периметром Р, объёмной теплоёмкостью и коэффициентом теплопроводности .

По закону сохранения энергии:

dQ= dQ₁-dQ₂ (1)

dQ= = - тепло, затраченное на изменение Т элемента объёма;

Тепло dQ₁, передаваемое в объём, пропорционально потоку, площади и времени.

dQ₁= =

Знак “-” означает уменьшение потока с ростом x,т.е. q₂< q₁.

Согласно закону Фурье:

q= ,тогда, при совпадении и

q= , и подставив это выражение в dQ₁,

Тепло, отдаваемое в окружающую среду ,где pdx- площадь поверхности;

Тепловой поток с поверхности q_s= = |_To=0,

dQ₂=

Подставим выражения dQ, dQ₁ и dQ₂ в уравнение баланса (1)

= -

поскольку dt 0, dx 0, то, сокращая, получим:

= -

Делим обе части уравнения на и, принебрегая зависимостью выносим за знак дифференцирования:

= -

Введем обозначения:

=а – коэффициент температуропроводности, ;

– коэффициент температуроотдачи, сек^-1;

- Дифференциальное уравнение теплопроводности для бесконечного стержня;

Дифференциальное уравнение теплопроводности для бесконечных пластин:

, где b= - коэффициент температуроотдачи.

Дифференциальное уравнение для бесконечного тела:

, где - оператор Лапласа;

При выводе уравнений предполагалось, что и не зависят от температуры Т, на самом деле это не так.

Однако, учет температурной зависимости этих коэффициентов и

Приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, решение которых возможно численными методами на IBM.

При аналитическом решении дифуравнений теплопроводности будем брать средние значения и в том диапазоне температур, который характерен для исследуемого процесса.