Устранение гетероскедастичности

При установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений .

Метод взвешенных наименьших квадратов (ВНК) применяется для известных для каждого наблюдения значениях . В этом случае можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение среднего квадратического отклонения. В этом суть метода взвешенных наименьших квадратов.

Для простоты изложения опишем ВНК на примере парной регрессии:

. (5.8)

Разделим обе части (5.8) на известное :

. (5.9)

Положив , получим уравнение регрессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной Z и с «преобразованным» отклонением :

. (5.10)

При этом для выполняется условие гомоскедастичности. Действительно, . Так как по предпосылке 1⁰ МНК , то , и тогда

.

Следовательно, для преобразованной модели (5.10) выполняются предпосылки 1⁰-5⁰ МНК. В этом случае оценки, полученные по МНК, будут наилучшими линейными несмещенными оценками.

Для применения ВНК необходимо знать фактические значения дисперсий отклонений. На практике такие значения известны крайне редко. следовательно, чтобы применить ВНК, необходимо сделать реалистические предположения о значениях .

Например, может оказаться целесообразным предположить, что дисперссии отклонений пропорциональны значениям (рис. 5.4,а) или значениям (рис. 5.4,б).

Рис. 5. 4

Дисперсии пропорциональны (рис 5.4,а):

( - коэффициент пропорциональности).

Тогда уравнение (5.8) преобразуется делением его левой и правой частей на :

. (5.11)

Несложно показать, что для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Следовательно, в регрессии (5.11) применим обычный МНК. Действительно, в силу выполнимости предпосылки имеем:

.

Таким образом, оценив для (5.11) по МНК коэффициенты и , затем возвращаются к исходному уравнению регрессии (5.8).